Парадокс кинетической энергии

17.12.2020

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики, якобы свидетельствующий о нарушении принципа относительности Галилея. При изменении скорости тела приращение его кинетической энергии в одной системе отсчёта не равно приращению в другой системе отсчёта. Отсюда якобы следует существование систем отсчёта, где нарушается закон сохранения энергии, и, вследствие этого, якобы нарушается принцип относительности Галилея.

Внутренний двигатель

Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию W {displaystyle W} . Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости v {displaystyle v} . Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью v {displaystyle v} . С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна v {displaystyle v} и кинетическая энергия равна W {displaystyle W} . Скорость игрушки после разгона равна 2 v {displaystyle 2v} и кинетическая энергия 4 W {displaystyle 4W} . Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на 3 W {displaystyle 3W} , что превышает запас энергии в пружине W {displaystyle W} .

Объяснение парадокса

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение m v + M V = 0 {displaystyle mv+MV=0} , где m {displaystyle m} — масса игрушки, v {displaystyle v} — скорость игрушки, M {displaystyle M} — масса Земли, V {displaystyle V} — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение W = m v 2 2 + M V 2 2 {displaystyle W={frac {mv^{2}}{2}}+{frac {MV^{2}}{2}}} . Выражая скорость Земли V {displaystyle V} из уравнения m v + M V = 0 {displaystyle mv+MV=0} и подставляя в уравнение W = m v 2 2 + M V 2 2 {displaystyle W={frac {mv^{2}}{2}}+{frac {MV^{2}}{2}}} , получим W = m v 2 2 ( 1 + m M ) {displaystyle W={frac {mv^{2}}{2}}left(1+{frac {m}{M}} ight)} .

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью v {displaystyle v} . После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение m ( 2 v ) − M V 1 = ( m + M ) v {displaystyle m(2v)-MV_{1}=(m+M)v} , где V 1 {displaystyle V_{1}} — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение δ E = m ( 2 v ) 2 2 + M V 1 2 2 − ( m + M ) v 2 2 {displaystyle delta E={frac {m(2v)^{2}}{2}}+{frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{frac {(m+M)v^{2}}{2}}} . Выразим скорость Земли V 1 {displaystyle V_{1}} из уравнения m ( 2 v ) + M V 1 = ( m + M ) v {displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v} и подставим в уравнение δ E = m ( 2 v ) 2 2 + M V 1 2 2 − ( m + M ) v 2 2 {displaystyle delta E={frac {m(2v)^{2}}{2}}+{frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{frac {(m+M)v^{2}}{2}}} . Получим δ E = 3 m v 2 2 + M 2 [ ( 1 − m M ) 2 v 2 − v 2 ] {displaystyle delta E=3{frac {mv^{2}}{2}}+{frac {M}{2}}left[(1-{frac {m}{M}})^{2}v^{2}-v^{2} ight]} . После простых преобразований получим δ E = m v 2 2 ( 1 + m M ) = W {displaystyle delta E={frac {mv^{2}}{2}}left(1+{frac {m}{M}} ight)=W} . То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины W {displaystyle W} .

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю.

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы W = m v 2 2 + M V 2 2 {displaystyle W={frac {mv^{2}}{2}}+{frac {MV^{2}}{2}}} появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны v {displaystyle v} , кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта.

Внешняя сила

Рассмотрим тело массой m {displaystyle m} движущееся со скоростью v 1 {displaystyle v_{1}} . Пусть на это тело в течение некоторого времени t {displaystyle t} действует постоянная сила F {displaystyle F} , направленная по той же прямой, что и скорость v 1 {displaystyle v_{1}} . Она изменяет скорость тела от значения v 1 {displaystyle v_{1}} до значения v 2 {displaystyle v_{2}} . В результате действия этой силы изменение кинетической энергии тела будет равно m 2 ( v 2 2 − v 1 2 ) {displaystyle {frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})} .

Теперь перейдём в другую систему отсчёта, движущуюся относительно прежней системы отсчёта равномерно и прямолинейно со скоростью v {displaystyle v} , направленной по той же прямой, что и скорость v 1 {displaystyle v_{1}} . В этой системе отсчёта изменение кинетической энергии будет равно m 2 ( ( v 2 − v ) 2 − ( v 1 − v ) 2 ) = m 2 ( v 2 2 − v 1 2 ) − m v ( v 2 − v 1 ) {displaystyle {frac {m}{2}}((v_{2}-v)^{2}-(v_{1}-v)^{2})={frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})} , то есть будет меньше, чем в первой системе отсчёта, что не согласуется с принципом относительности Галилея.

Объяснение парадокса

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение m 2 ( v 2 2 − v 1 2 ) = F s {displaystyle {frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs} . Здесь s {displaystyle s} — длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с v 1 {displaystyle v_{1}} до v 2 {displaystyle v_{2}} . Так как тело движется с ускорением F m {displaystyle {frac {F}{m}}} , то s = v 1 t + F m t 2 2 {displaystyle s=v_{1}t+{frac {F}{m}}{frac {t^{2}}{2}}} .

Во второй системе m 2 ( v 2 2 − v 1 2 ) − m v ( v 2 − v 1 ) = F s 1 {displaystyle {frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}} . Здесь s 1 {displaystyle s_{1}} — длина пути, пройденного телом во второй системе s 1 = ( v 1 − v ) t + F m t 2 2 {displaystyle s_{1}=(v_{1}-v)t+{frac {F}{m}}{frac {t^{2}}{2}}} . Итак, s − s 1 = v t {displaystyle s-s_{1}=vt} . Так как F m = a = ( v 2 − v 1 ) t {displaystyle {frac {F}{m}}=a={frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}} , то t = m ( v 2 − v 1 ) F , s − s 1 = m v ( v 2 − v 1 ) F {displaystyle t={frac {m(v_{2}-v_{1})}{F}},s-s_{1}={frac {mv(v_{2}-v_{1})}{F}}} . Таким образом F ( s − s 1 ) = m v ( v 2 − v 1 ) {displaystyle F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})} .

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: