Надграфик

18.12.2020

Надграфик (эпиграф) — множество точек, лежащих над графиком данной функции.

Формально, для функции f : M → R {displaystyle f:M o mathbb {R} } надграфиком называется множество:

epi ⁡ f ≡ { ( x , y ) ∈ M × R ∣ y ⩾ f ( x ) } {displaystyle operatorname {epi} fequiv {igl {}(x,y)in M imes mathbb {R} mid ygeqslant f(x){igr }}} .

Надграфик включает в себя график функции f {displaystyle f} , то есть epi ⁡ f ⊃ Γ , {displaystyle operatorname {epi} fsupset Gamma ,} где:

Γ ≡ { ( x , f ( x ) ) ∈ M × R ∣ x ∈ M } {displaystyle Gamma equiv left{{igl (}x,f(x){igr )}in M imes mathbb {R} mid xin M ight}}

Надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда она сама является выпуклой.

Надграфик функции является замкнутым множеством тогда и только тогда, когда сама функция является полунепрерывной снизу.

Двойственное понятие — подграфик (гипограф), для функции f : M → R {displaystyle f:M o mathbb {R} } определяется как множество точек, лежащих под графиком:

hyp ⁡ f ≡ { ( x , y ) ∈ M × R ∣ y ⩽ f ( x ) } {displaystyle operatorname {hyp} fequiv {igl {}(x,y)in M imes mathbb {R} mid yleqslant f(x){igr }}} .