Эллипсоид вращения

18.12.2020

Эллипсоид вращения (сфероид) — поверхность вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл Архимед: «… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).»

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину ( a x = a y = a {displaystyle a_{x}=a_{y}=a} ):

x 2 a x 2 + y 2 a y 2 + z 2 b 2 = ρ 2 a 2 + z 2 b 2 = 1. {displaystyle {frac {x^{2}}{{a_{x}}^{2}}}+{frac {y^{2}}{{a_{y}}^{2}}}+{frac {z^{2}}{b^{2}}}={frac { ho ^{2}}{a^{2}}}+{frac {z^{2}}{b^{2}}}=1.}

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращения

Вытянутый эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращения

Сплюснутый эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулы

  • Площадь поверхности:
2 π a ( a + b 2 a 2 − b 2 ln ⁡ ( a + a 2 − b 2 b ) ) {displaystyle 2pi aleft(a+{frac {b^{2}}{sqrt {a^{2}-b^{2}}}}ln left({frac {a+{sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}} ight) ight)} , (для сплюснутого, a > b) 2 π a ( a + b 2 b 2 − a 2 arcsin ⁡ ( b 2 − a 2 b ) ) {displaystyle 2pi aleft(a+{frac {b^{2}}{sqrt {b^{2}-a^{2}}}}arcsin left({frac {sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}} ight) ight)} , (для вытянутого, a < b)
  • Объём:
4 3 π a 2 b {displaystyle {frac {4}{3}}pi a^{2}b}

Здесь o ε {displaystyle o!varepsilon } — угловой эксцентриситет:

o ε = arccos ⁡ ( b a ) = 2 arctan ⁡ ( a − b a + b ) {displaystyle o!varepsilon =arccos left({frac {b}{a}} ight)=2arctan left({sqrt {frac {a-b}{a+b}}} ight)quad mathrm {} } , (сплюснутый) = arccos ⁡ ( a b ) = 2 arctan ⁡ ( b − a b + a ) {displaystyle =arccos left({frac {a}{b}} ight)=2arctan left({sqrt {frac {b-a}{b+a}}} ight)quad mathrm {} } , (вытянутый) (sin(oε) часто выражается как эксцентриситет, «e»)

Примеры

Форма Земли — в хорошем приближении представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с a b ≈ 301 299 {displaystyle {{frac {a}{b}}approx {frac {301}{299}}}} .

Применение

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: