Пятискатная ротонда

18.12.2020

Пятискатная ротонда — один из многогранников Джонсона (J6, по Залгаллеру — М9).

Составлена из 17 граней: 10 правильных треугольников, 6 правильных пятиугольников и 1 правильного десятиугольника. Десятиугольная грань окружена пятью пятиугольными и пятью треугольными; среди пятиугольных граней 5 окружены десятиугольной и четырьмя треугольными, 1 — пятью треугольными; среди треугольных граней 5 окружены десятиугольной и двумя пятиугольными, другие 5 — тремя пятиугольными.

Имеет 35 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между десятиугольной и пятиугольной гранями, 5 рёбер — между десятиугольной и треугольной, остальные 25 — между пятиугольной и треугольной.

У пятискатной ротонды 20 вершин. В 10 вершинах сходятся десятиугольная, пятиугольная и треугольная грани; в других 10 — две пятиугольных и две треугольных.

Пятискатные ротонды можно получить из икосододекаэдра, разрезав его на две равные части. Вершины каждого из двух полученных многогранников — 20 из 30 вершин икосододекаэдра, рёбра — 35 из 60 рёбер икосододекаэдра; отсюда ясно, что у пятискатных ротонд существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосододекаэдра. Центры описанных и полувписанных сфер совпадают с центрами десятиугольных граней ротонд.

Метрические характеристики

Если пятискатная ротонда имеет ребро длины a {displaystyle a} , её площадь поверхности и объём выражаются как

S = 1 2 ( 5 3 + ( 5 + 3 5 ) 5 + 2 5 ) a 2 ≈ 22,347 2003 a 2 , {displaystyle S={frac {1}{2}}left(5{sqrt {3}}+left(5+3{sqrt {5}} ight){sqrt {5+2{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 22{,}3472003a^{2},} V = 1 12 ( 45 + 17 5 ) a 3 ≈ 6,917 7630 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{12}}left(45+17{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 6{,}9177630a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = 1 2 ( 1 + 5 ) a ≈ 1,618 0340 a , {displaystyle R={frac {1}{2}}left(1+{sqrt {5}} ight)aapprox 1{,}6180340a,}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 1 2 5 + 2 5 a ≈ 1,538 8418 a , {displaystyle ho ={frac {1}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}};aapprox 1{,}5388418a,}

высота ротонды (расстояние между десятиугольной и параллельной ей пятиугольной гранями) —

H = 1 + 2 5 a ≈ 1,376 3819 a . {displaystyle H={sqrt {1+{frac {2}{sqrt {5}}}}};aapprox 1{,}3763819a.}

При одинаковой длине ребра высота пятискатной ротонды больше высоты пятискатного купола (J5) в Φ 2 = Φ + 1 ≈ 2,618 {displaystyle Phi ^{2}=Phi +1approx 2{,}618} раз, где Φ = 1 + 5 2 {displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: