Нейтральный элемент

19.12.2020

Нейтральный элемент бинарной операции — элемент, который оставляет любой другой элемент неизменным при применении этой бинарной операции к этим двум элементам.

Определение

Пусть ( M , ⋅ ) {displaystyle (M,cdot )} — множество M {displaystyle M} с определённой на нём бинарной операцией « ⋅ {displaystyle cdot } ». Элемент e ∈ M {displaystyle ein M} называется нейтральным относительно ⋅ {displaystyle cdot } (умножения), если

x ⋅ e = e ⋅ x = x , ∀ x ∈ M {displaystyle xcdot e=ecdot x=x,quad forall xin M} .

В случаях некоммутативных операций, вводят левый нейтральный элемент e l {displaystyle e_{mathrm {l} }} , для которого

e l ⋅ x = x , ∀ x ∈ M {displaystyle e_{mathrm {l} }cdot x=x,quad forall xin M} ,

и правый нейтральный элемент e r {displaystyle e_{mathrm {r} }} , для которого

x ⋅ e r = x , ∀ x ∈ M {displaystyle xcdot e_{mathrm {r} }=x,quad forall xin M} .

В общем случае может существовать произвольное количество элементов, нейтральных слева или справа. Если одновременно существуют и нейтральный слева элемент e l {displaystyle e_{mathrm {l} }} , и нейтральный справа элемент e r {displaystyle e_{mathrm {r} }} , то они обязаны совпадать (так как e r = e l ⋅ e r = e l {displaystyle e_{mathrm {r} }=e_{mathrm {l} }cdot e_{mathrm {r} }=e_{mathrm {l} }} ).

Примеры

Терминология

В алгебре

В приведённой в определении мультипликативной нотации нейтральный элемент принято называть единичным элементом или просто единицей по аналогии с одноимённым числом. См. статью «единица (алгебра)» о двусторонних нейтральных элементах умножения в кольцах, полях, и алгебрах над ними.

Если речь идёт о нейтральном элементе операции, обозначаемой (и называемой) сложением, то нейтральный элемент называют нулём, опять-таки по аналогии с одноимённым числом. Сложением называют не только операцию в теории колец и линейной алгебре, но и (иногда) групповую операцию в абелевых группах.

В теории решёток

В теории решёток нейтральный элемент операции «∨» обозначается «0», а нейтральный элемент операции «∧» обозначается «1».



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: