Поток (интуиционизм)

31.12.2020

Поток — одно из основных понятий интуиционистской математики.

Определение

Поток M {displaystyle M} определяется как совокупность двух законов Λ M {displaystyle Lambda _{M}} и Γ M {displaystyle Gamma _{M}} , называемых законом потока и дополнительным законом соответственно. Закон потока Λ M {displaystyle Lambda _{M}} делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые и должен обладать следующими свойствами:

  • Пустой кортеж ⟨ ⟩ {displaystyle langle angle } является допустимым.
  • Для любого допустимого кортежа ⟨ a 1 , … , a n ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n} angle } найдётся по меньшей мере одно натуральное число k {displaystyle k} , для которого кортеж ⟨ a 1 , … , a n , k ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n},k angle } также будет допустимым.
  • Для любого допустимого кортежа вида ⟨ a 1 , … , a n , k ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n},k angle } кортеж ⟨ a 1 , … , a n ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n} angle } также является допустимым.
  • Дополнительный закон Γ M {displaystyle Gamma _{M}} сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.

    Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел { a k } k = 1 ∞ {displaystyle {a_{k}}_{k=1}^{infty }} , для которых при любом n {displaystyle n} кортеж ⟨ a 1 , … , a n ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n} angle } является допустимым по закону потока M {displaystyle M} , называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности { Γ M ( a k ) } k = 1 ∞ {displaystyle {Gamma _{M}(a_{k})}_{k=1}^{infty }} (где Γ M {displaystyle Gamma _{M}} — дополнительный закон потока M {displaystyle M} ) называются элементами потока M {displaystyle M} .

    Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.

    Применение в интуиционистской математике

    На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:

  • допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны 1 {displaystyle 1} или 2 {displaystyle 2} ;
  • если допустимому кортежу ⟨ a 1 , … , a n ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n} angle } дополнительным законом сопоставлен отрезок [ a , b ] {displaystyle [a,b]} , то кортежу ⟨ a 1 , … , a n , 1 ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n},1 angle } сопоставляется отрезок [ a , ( a + b ) / 2 ] {displaystyle [a,(a+b)/2]} , а кортежу ⟨ a 1 , … , a n , 2 ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n},2 angle } — отрезок [ ( a + b ) / 2 , b ] {displaystyle [(a+b)/2,b]} .
  • Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} .

    Запирающие условия и бар-индукция

    Пусть K {displaystyle {mathcal {K}}} — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности { a n } n = 1 ∞ {displaystyle {a_{n}}_{n=1}^{infty }} найдётся номер n {displaystyle n} , для которого кортеж ⟨ a 1 , … , a n ⟩ {displaystyle langle a_{1},ldots ,a_{n} angle } удовлетворяет условию K {displaystyle {mathcal {K}}} . В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:

    Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.

    Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:

    В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «лемма Кёнига о бесконечном пути».



    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: