Пространство основных функций

11.01.2021

Пространство основных функций — структура, с помощью которой строится пространство обобщённых функций (пространство линейных функционалов на пространстве основных функций).

Обобщённые функции имеют большое значение в математической физике, а пространство основных функций используется как основа для строительства обобщённых функций (формально это область определения соответствующих обобщенных функций). Дифференциальные уравнения рассматриваются в т. н. слабом смысле, то есть рассматривается не поточечное равенство, а равенство соответствующих регулярных линейных функционалов на подходящем пространстве основных функций. См. пространства Соболева.

Обычно в качестве пространства основных функций D ( Ω ) {displaystyle {mathcal {D}}(Omega )} выбирается пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (т. н. финитных функций) C 0 ∞ ( Ω ) {displaystyle C_{0}^{infty }(Omega )} , на котором вводится следующая сходимость (а значит и топология):

Последовательность { u j } j = 1 ∞ ⊂ D ( Ω ) {displaystyle left{u_{j} ight}_{j=1}^{infty }subset {mathcal {D}}(Omega )} сходится к u ∈ D ( Ω ) {displaystyle uin {mathcal {D}}(Omega )} , если:

  • Функции u j {displaystyle u_{j}} равномерно финитны, то есть ∃ K {displaystyle exists K} — компакт в Ω {displaystyle Omega } и в том числе ∀ j s u p p u j ⊂ K {displaystyle forall j;mathrm {supp} ,u_{j}subset K} .
  • ∀ α D α u j ( x ) → D α u ( x ) {displaystyle forall alpha ;D^{alpha }u_{j}(x) o D^{alpha }u(x)} равномерно по x {displaystyle x} .
  • Здесь Ω {displaystyle Omega } — ограниченная область в R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} .

    Для вопросов преобразования Фурье используются обобщённые функции медленного роста. Для них в качестве основного выбирается класс Шварца S = S ( R n ) {displaystyle {mathcal {S}}={mathcal {S}}(mathbb {R} ^{n})} — бесконечно гладких на R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} функций, убывающих при | x | → ∞ {displaystyle |x| o infty } быстрее любой степени | x | − 1 {displaystyle |x|^{-1}} вместе со всеми своими производными. Сходимость на нём определяется следующим образом: последовательность функций ϕ 1 , ϕ 2 , … {displaystyle phi _{1},phi _{2},dots } сходится к ϕ ∗ {displaystyle phi ^{*}} , если

    ∀ α , β ∈ N   | x | α D β ϕ j ( x ) → | x | α D β ϕ ∗ ( x ) {displaystyle forall alpha ,eta in mathbb {N} |x|^{alpha }D^{eta }phi _{j}(x) o |x|^{alpha }D^{eta }phi ^{*}(x)} равномерно по x {displaystyle x} .

    Выбор класса Шварца для построения преобразования Фурье на пространстве обобщенных функций обуславливается тем, что преобразование Фурье является автоморфизмом на классе Шварца.



    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: