Уравнения Прока

Уравнения Прока — обобщение уравнений Максвелла, призванное описывать массивные частицы со спином 1. Уравнения Прока обычно записываются в виде

∂ i F i k + m 2 A k = 0 {displaystyle partial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0} F k l = ∂ k A l − ∂ l A k {displaystyle F^{kl}=partial ^{k}A^{l}-partial ^{l}A^{k}} ,

где   F i k {displaystyle F^{ik}} — антисимметричный тензор электромагнитного поля:

F i k = ( 0 − E x − E y − E z E x 0 − B z B y E y B z 0 − B x E z − B y B x 0 ) {displaystyle F^{ik}=left({egin{matrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0end{matrix}} ight)}

Уравнения Прока также могут быть представлены в виде

∂ i F i k + m 2 A k = 0 {displaystyle partial _{i}F^{ik}+m^{2}A^{k}=0} ( ∂ k ∂ k + m 2 ) A l = 0 {displaystyle (partial _{k}partial ^{k}+m^{2})A^{l}=0} .

Уравнения Прока не являются калибровочно-инвариантными.

Лагранжева плотность

Рассматривается поле четырех-потенциала Aμ = (φ/c, A), где φ — это электростатический потенциал, A — магнитный потенциал. Лагранжева плотность задана следующим образом:

L = − 1 16 π ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) + m 2 c 2 8 π ℏ 2 A ν A ν . {displaystyle {mathcal {L}}=-{frac {1}{16pi }}(partial ^{mu }A^{ u }-partial ^{ u }A^{mu })(partial _{mu }A_{ u }-partial _{ u }A_{mu })+{frac {m^{2}c^{2}}{8pi hbar ^{2}}}A^{ u }A_{ u }.}

где c — скорость света, a ħ — приведенная постоянная Планка.

Вывод уравнения

Уравнение Эйлера — Лагранжа движения для такого Лагранжиана, также называемое Уравнением Прока, имеет следующий вид:

∂ μ ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) + ( m c ℏ ) 2 A ν = 0 {displaystyle partial _{mu }(partial ^{mu }A^{ u }-partial ^{ u }A^{mu })+left({frac {mc}{hbar }} ight)^{2}A^{ u }=0}

что эквивалентно следующему уравнению

[ ∂ μ ∂ μ + ( m c ℏ ) 2 ] A ν = 0 {displaystyle left[partial _{mu }partial ^{mu }+left({frac {mc}{hbar }} ight)^{2} ight]A^{ u }=0}

при условии

∂ μ A μ = 0 {displaystyle partial _{mu }A^{mu }=0}

которое является просто калибровкой Лоренца. При условии, что m = 0, уравнения обращаются в уравнения Максвелла в вакууме (то есть подразумевается отсутствие зарядов и токов). Уравнение Прока тесно связано с уравнением Клейна — Гордона — Фока.

В более привычных терминах уравнение имеет вид:

◻ ϕ − ∂ ∂ t ( 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ A ) = − ( m c ℏ ) 2 ϕ {displaystyle Box phi -{frac {partial }{partial t}}left({frac {1}{c^{2}}}{frac {partial phi }{partial t}}+ abla cdot mathbf {A} ight)=-left({frac {mc}{hbar }} ight)^{2}phi } ◻ A + ∇ ( 1 c 2 ∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ A ) = − ( m c ℏ ) 2 A {displaystyle Box mathbf {A} + abla left({frac {1}{c^{2}}}{frac {partial phi }{partial t}}+ abla cdot mathbf {A} ight)=-left({frac {mc}{hbar }} ight)^{2}mathbf {A} }