Проективная группа

18.02.2021

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение

Пусть V {displaystyle V} — векторное пространство над полем F {displaystyle F} (или, более обще, над телом K {displaystyle K} ), а G L ( V ) {displaystyle GL(V)} — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями Z ( V ) {displaystyle Z(V)} пространства V {displaystyle V} (умножениями на ненулевые константы поля F {displaystyle F} ), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства P ( V ) = V / Z ( V ) {displaystyle mathbb {P} (V)=V/Z(V)} (факторпространство по действию группы Z ( V ) {displaystyle Z(V)} ).

Некоторые из них индуцированных преобразований действуют на P ( V ) {displaystyle mathbb {P} (V)} тривиально — это в точности элементы группы гомотетий Z ( V ) ≅ F ∗ {displaystyle Z(V)cong F^{*}} пространства V {displaystyle V} . Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

P G L ( V ) = G L ( V ) / Z ( V ) {displaystyle PGL(V)=GL(V)/Z(V)} .

Если в пространстве V {displaystyle V} явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм V ≅ F n {displaystyle Vcong F^{n}} для натурального n {displaystyle n} , получится

P G L n ( F ) = G L n ( F ) / F ∗ {displaystyle PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}} ,

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения

Если вместо полной линейной группы G L ( V ) {displaystyle mathbb {G} L(V)} взять специальную линейную группу S L ( V ) {displaystyle mathbb {S} L(V)} , то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа P S L ( V ) {displaystyle PSL(V)} , также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства

  • Если F q {displaystyle F_{q}} — конечное поле из q {displaystyle q} элементов, то порядок группы равен | P S L n ( F q ) | = ( q − 1 , n ) − 1 q n ( n − 1 ) / 2 ( q n − 1 ) ( q n − 1 − 1 ) ⋯ ( q 2 − 1 ) {displaystyle |PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)cdots (q^{2}-1)} .
  • При n ≥ 2 {displaystyle ngeq 2} группа P S L n ( F ) {displaystyle PSL_{n}(F)} проста, за исключением случаев P S L 2 ( F 2 ) {displaystyle PSL_{2}(F_{2})} и P S L 2 ( F 3 ) {displaystyle PSL_{2}(F_{3})} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: