Нелинейная задача собственных значений

Нелинейная задача собственных значений — это обобщение обычной задачи собственных значений до уравнений, зависящих от собственных значений нелинейно. В частности, эта задача относится к уравнениям вида

A ( λ ) x = 0 , {displaystyle A(lambda )mathbf {x} =0,,}

где x — вектор (нелинейный «собственный вектор»), а A — функция, отображающая число λ {displaystyle lambda } (ненулевое «собственное значение») в матрицу. (В наиболее общем случае A ( λ ) {displaystyle A(lambda )} может быть линейным отображением, но чаще всего это конечномерная, как правило квадратная, матрица). От A обычно требуется, чтобы функция была голоморфной от λ {displaystyle lambda } (в некоторой области определения).

Например, обычная задача собственных значений B v = λ v {displaystyle Bmathbf {v} =lambda mathbf {v} } , где B — квадратная матрица, соответствует функции A ( λ ) = B − λ E {displaystyle A(lambda )=B-lambda E} , где E — единичная матрица.

Часто в качестве A появляется лямбда-матрица (матрица многочленов), и тогда задача называется полиномиальной задачей собственных значений. В частности, когда многочлены имеют степень два, задача называется квадратичной задачей собственных значений и может быть записана в виде

A ( λ ) x = ( A 2 λ 2 + A 1 λ + A 0 ) x = 0 , {displaystyle A(lambda )mathbf {x} =(A_{2}lambda ^{2}+A_{1}lambda +A_{0})mathbf {x} =0,,}

в терминах постоянных квадратных матриц A 0 , 1 , 2 {displaystyle A_{0,1,2}} . Такие задачи широко распространены в области динамического анализа механических конструкций. В этом случае обычно матрица жёсткости A 0 {displaystyle A_{0}} и матрица масс A 2 {displaystyle A_{2}} являются симметричными положительно (полу)определёнными матрицами. Ещё одним важным источником задач такого вида является моделирование вибраций вращающихся конструкций. Задача может быть сведена к обычной линейной обобщённой задаче собственных значений удвоенного размера путём определения нового вектора y = λ x {displaystyle mathbf {y} =lambda mathbf {x} } . В терминах x и y квадратичная задача превращается в

( A 0 A 1 0 E ) ( x y ) = λ ( 0 − A 2 E 0 ) ( x y ) , {displaystyle {egin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&Eend{pmatrix}}{egin{pmatrix}mathbf {x} mathbf {y} end{pmatrix}}=lambda {egin{pmatrix}0&-A_{2}E&0end{pmatrix}}{egin{pmatrix}mathbf {x} mathbf {y} end{pmatrix}},}

где E — единичная матрица. В более общем случае, если A является матрицей многочленов порядка d, задачу можно свести к линейной (обобщённой) задаче собственных значений d-кратного размера.

Методы решения

Методы решения можно разделить на 3 группы

Методы линеаризации с полиномиальной или рациональной матрицей. В результате линеаризации получают задачу с пучком матриц большого порядка. Такие методы нацелены на поиск небольшого количества интересующих собственных значений и собственных векторов.

Методы уточнения. В данный класс попадает большинство существующих методов решения задачи (метод Кублановской, метод обратной итерации и его разновидности и др.). Суть методов состоит в последовательном поиске собственного значения из начального приближения. Сюда входят метод Мюллера и метод Ньютона (классический представитель класса методов первого порядка), методы Халлея и Лагерра (методы второго порядка).

Методы отделения корней. Сюда входят методы, основанные на поиске корней детерминантного уравнения. Методы данной группы используются для поиска приближений к собственным значениям.