Топологическая K-теория

31.03.2021

В математике, топологическая K-теория является подразделом алгебраической топологии. В начале своего существования она применялась для изучения векторных расслоений на топологических пространствах с помощью идей, признанных в настоящее время частью (общей) K-теории, введенной Александром Гротендиком . Ранние работы по топологической K-теории принадлежат Майклу Атья и Фридриху Хирцебруху.

Определения

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство и k = R {displaystyle k=mathbb {R} } или C {displaystyle mathbb {C} } . Тогда K k ( X ) {displaystyle K_{k}(X)} определяется как группа Гротендика коммутативного моноида конечномерных k {displaystyle k} -векторных расслоений над X с суммой Уитни. Тензорное произведение расслоений задаёт на K-теории структуру коммутативного кольца. Без индекса, K ( X ) {displaystyle K(X)} обычно обозначает комплексную K-теорию, тогда как вещественная K-теория иногда обозначается как K O ( X ) {displaystyle KO(X)} . Далее мы рассматриваем комплексную K-теорию.

В качестве начального примера заметим, что K-теорией точки являются целые числа. Это связано с тем, что все векторные расслоения над точкой тривиальны и поэтому классифицируются своим рангом, а группа Гротендика натуральных чисел это целые числа.

Существует редуцированная версия K теории, K ~ ( X ) {displaystyle {widetilde {K}}(X)} ,которая определяется для X — компактных пространств с выделенной точкой (ср. приведенные гомологии ). Приведенную теорию можно интуитивно рассматривать как K(X) по модулю тривиальных расслоений. Она определяется как группа классов стабильной эквивалентности расслоений. Два расслоения E и F называются стабильно изоморфными, если существуют тривиальные расслоения ε 1 {displaystyle varepsilon _{1}} и ε 2 {displaystyle varepsilon _{2}} , такие что E ⊕ ε 1 ≅ F ⊕ ε 2 {displaystyle Eoplus varepsilon _{1}cong Foplus varepsilon _{2}} , Это отношение эквивалентности задает структуру группы на множестве векторных расслоений, поскольку каждое векторное расслоение может быть дополнено до тривиального расслоения путем суммирования с его ортогональным дополнением. С другой стороны , K ~ ( X ) {displaystyle {widetilde {K}}(X)} можно определить как ядро отображения K ( X ) → K ( x 0 ) ≅ Z {displaystyle K(X) o K(x_{0})cong mathbb {Z} } индуцируемого вложением базовой точки x0 в X.

K-теория является мультипликативной (обобщенной) когомологической теорией. Короткая точная последовательность пространств с выделенной точкой (X, A)

K ~ ( X / A ) → K ~ ( X ) → K ~ ( A ) {displaystyle {widetilde {K}}(X/A) o {widetilde {K}}(X) o {widetilde {K}}(A)}

Продолжается до длинной точной последовательности

⋯ → K ~ ( S X ) → K ~ ( S A ) → K ~ ( X / A ) → K ~ ( X ) → K ~ ( A ) . {displaystyle cdots o {widetilde {K}}(SX) o {widetilde {K}}(SA) o {widetilde {K}}(X/A) o {widetilde {K}}(X) o {widetilde {K}}(A).}

Пусть Sn будет n-ой приведенной надстройкой пространства. Тогда определим:

K ~ − n ( X ) := K ~ ( S n X ) , n ≥ 0. {displaystyle {widetilde {K}}^{-n}(X):={widetilde {K}}(S^{n}X),qquad ngeq 0.}

Отрицательные индексы выбираются таким образом, чтобы кограничное отображение увеличивало размерность.

Часто имеет смысл рассматривать нередуцированную версию этих групп, определенную как:

K − n ( X ) = K ~ − n ( X + ) . {displaystyle K^{-n}(X)={widetilde {K}}^{-n}(X_{+}).}

Где X + {displaystyle X_{+}} это X {displaystyle X} с отдельной выделенной точкой, помеченной знаком «+».

Наконец, теорема Ботта о периодичности, сформулированная ниже, даёт нам теории с положительными индексами.

Свойства

  • Kn и, соответственно K ~ n {displaystyle {widetilde {K}}^{n}} являются контравариантными функторами из гомотопической категории пространств (с выделенной точкой) в категорию коммутативных колец. Следовательно, например, K-теория над стягиваемыми пространствами это Z . {displaystyle mathbb {Z} .}
  • Спектром K-теории является B U × Z {displaystyle BU imes mathbb {Z} } (с дискретной топологией на Z {displaystyle mathbb {Z} } ), т.е. K ( X ) ≅ [ X + , Z × B U ] , {displaystyle K(X)cong left[X^{+},mathbb {Z} imes BU ight],} где [, ] обозначает классы отображений помеченных пространств с точностью до гомотопии, а BU - копредел классифицирующих пространств унитарных групп: B U ( n ) ≅ Gr ⁡ ( n , C ∞ ) . {displaystyle BU(n)cong operatorname {Gr} left(n,mathbb {C} ^{infty } ight).} Аналогично,
K ~ ( X ) ≅ [ X , Z × B U ] . {displaystyle {widetilde {K}}(X)cong [X,mathbb {Z} imes BU].} Для вещественной K теории используется пространство BO .
  • Аналогом операций Стинрода в K-теории являются операции Адамса . Их можно использовать для определения характеристических классов в топологической K-теории.
  • Принцип расщепления в топологической K-теории позволяет свести утверждения о произвольных векторных расслоениях к утверждениям о суммах одномерных расслоений.
  • Изоморфизм Тома в топологической K теории это:
K ( X ) ≅ K ~ ( T ( E ) ) , {displaystyle K(X)cong {widetilde {K}}(T(E)),} где T(E) - пространство Тома векторного расслоения E над X. Это выполняется когда E является спинарным расслоением.
  • Спектральная последовательность Атьи-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий.
  • Топологическую K-теория можно обобщить до функтора на C*-алгебрах.

Периодичность Ботта

Периодичность, названную в честь Рауля Ботта можно сформулировать так:

  • K ( X × S 2 ) = K ( X ) ⊗ K ( S 2 ) , {displaystyle K(X imes mathbb {S} ^{2})=K(X)otimes K(mathbb {S} ^{2}),} и K ( S 2 ) = Z [ H ] / ( H − 1 ) 2 {displaystyle K(mathbb {S} ^{2})=mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}} где H - класс тавтологического расслоения на S 2 = P 1 ( C ) , {displaystyle mathbb {S} ^{2}=mathbb {P} ^{1}(mathbb {C} ),} то есть насфере Римана .
  • K ~ n + 2 ( X ) = K ~ n ( X ) . {displaystyle {widetilde {K}}^{n+2}(X)={widetilde {K}}^{n}(X).}
  • Ω 2 B U ≅ B U × Z . {displaystyle Omega ^{2}BUcong BU imes mathbb {Z} .}

В вещественной K теории существует похожая периодичность, только по модулю 8.

Приложения

Два самых известных применения топологической K-теории принадлежат Фрэнку Адамсу . Сначала он решил задачу о единичном инварианте Хопфа, сделав вычисления с помощью операций Адамса . Затем он доказал верхнюю оценку числа линейно независимых векторных полей на сферах.

Характер Чженя

Майкл Атья и Фридрих Хирцебрух доказали теорему, которая связывает топологическую K-теорию CW-комплекса X {displaystyle X} с его рациональными когомологиями. В частности, они показали, что существует гомоморфизм

c h : K top ∗ ( X ) ⊗ Q → H ∗ ( X ; Q ) {displaystyle ch:K_{ ext{top}}^{*}(X)otimes mathbb {Q} o H^{*}(X;mathbb {Q} )}

такой, что

K top 0 ( X ) ⊗ Q ≅ ⨁ k H 2 k ( X ; Q ) K top 1 ( X ) ⊗ Q ≅ ⨁ k H 2 k + 1 ( X ; Q ) {displaystyle {egin{aligned}K_{ ext{top}}^{0}(X)otimes mathbb {Q} &cong igoplus _{k}H^{2k}(X;mathbb {Q} )K_{ ext{top}}^{1}(X)otimes mathbb {Q} &cong igoplus _{k}H^{2k+1}(X;mathbb {Q} )end{aligned}}}

Существует алгебраический аналог, связывающий группу Гротендика когерентных пучков и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия X {displaystyle X} .



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: