Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии M {displaystyle M} называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

ω : M → ( ∧ k T ∗ M ) ⊗ M T M {displaystyle omega colon M o left(wedge ^{k}T^{*}M ight)otimes _{M}TM} π ∘ ω = ı d {displaystyle pi circ omega =imath d}

Операции

• Внутреннее дифференицрование
• Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля T {displaystyle T} по векторному полю X {displaystyle X} определяется стандартным образом:

L X T = d d t g t T {displaystyle L_{X}T={frac {d}{dt}}g^{t}T}

где g t {displaystyle g^{t}} — фазовый поток, соответствующий векторному полю X {displaystyle X} . Эта операция связана с внутренним умножением ı X {displaystyle imath _{X}} дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

L X = ı X d + d ı X {displaystyle L_{X}=imath _{X}d+dimath _{X}}

то есть

L X = [ ı X , d ] {displaystyle L_{X}=[imath _{X},d]}

где [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы K {displaystyle K} производная Ли определяется по аналогии:

L K = [ ı K , d ] {displaystyle L_{K}=[imath _{K},d]} Свойства

• [ L K , d ] = 0 {displaystyle [L_{K},d]=0}

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} двух тангенциальнозначных форм K {displaystyle K} и F {displaystyle F} определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [ K , F ] {displaystyle [K,F]} , для которой

[ L K , L F ] = L ( [ K , F ] ) {displaystyle [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру I {displaystyle I} как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как [ I , I ] {displaystyle [I,I]} . Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры A {displaystyle A} можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры A {displaystyle A} , посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения μ : A ⊗ A → A {displaystyle mu colon Aotimes A o A} суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1).

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) [ ⋅ , ⋅ ] ∧ {displaystyle [cdot ,cdot ]^{wedge }} двух тангенциальнозначных форм K {displaystyle K} и F {displaystyle F} определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [ K , F ] ∧ {displaystyle [K,F]^{wedge }} , для которой

[ ı K , ı F ] = ı ( [ K , F ] ∧ ) {displaystyle [imath _{K},imath _{F}]=imath ([K,F]^{wedge })}

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм K ∈ Ω k + 1 ( M , T M ) {displaystyle Kin Omega ^{k+1}(M,TM)} , F ∈ Ω f + 1 ( M , T M ) {displaystyle Fin Omega ^{f+1}(M,TM)} :

[ K , F ] ∧ = ı k F − ( − 1 ) k f ı F K {displaystyle [K,F]^{wedge }=imath _{k}F-(-1)^{kf}imath _{F}K}

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в T ∗ M ⊗ T M {displaystyle T^{*}Motimes TM} .