Гиперболическая группа

13.04.2021

Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа, граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову.

Определение

На конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная. Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично, а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

Примеры

  • Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, "сходство" свойств метрического пространства с деревом — свободная группа (граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.
  • Группа PSL(2,Z) гиперболична.
  • Конечная группа гиперболична.
Не примеры
  • Свободная абелева группа с двумя образующими Z 2 {displaystyle mathbb {Z} ^{2}} не является гиперболической.
    • Более того, любая группа содержащая подгруппу изоморфную Z 2 {displaystyle mathbb {Z} ^{2}} не гиперболична.
  • Группа Баумслага — Солитера B(m,n), а также любая группа содержащая B(m,n) как подгруппу, не гиперболична.

Свойства

  • Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.
  • Любая гиперболическая группа является конечно-представленной: задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)
  • Гиперболичность равносильна линейному изопериметрическому неравенству: тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: