Ядро интегрального оператора

04.05.2021

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма) называется функция двух аргументов K ( x , y ) {displaystyle K(x,;y)} , определяющая некий интегральный оператор A {displaystyle {mathcal {A}}} равенством

φ ( y ) = A [ φ ( x ) ] = ∫ K ( x , y ) φ ( x ) d μ ( x ) , {displaystyle varphi (y)={mathcal {A}}[varphi (x)]=int K(x,;y)varphi (x),dmu (x),}

где x ∈ X {displaystyle xin mathbb {X} } — пространство с мерой d μ ( x ) {displaystyle dmu (x)} , а φ ( x ) {displaystyle varphi (x)} принадлежит некоторому пространству функций, определённых на X {displaystyle mathbb {X} } .

Примеры

  • Ядро K ( x , y ) {displaystyle K(x,;y)} называется L 2 {displaystyle L_{2}} -ядром, если оно удовлетворяет условию:
∫ D ∫ D | K ( x , y ) | 2 d x d y < + ∞ , {displaystyle int limits _{D}int limits _{D}|K(x,;y)|^{2},dx,dy<+infty ,}

где K ( x , y ) {displaystyle K(x,;y)} — измеримая на D {displaystyle D} функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

  • Ядро, удовлетворяющее условию:
K ( x , y ) ≡ 0 {displaystyle K(x,;y)equiv 0} при y > x {displaystyle y>x}

называется ядром Вольтерры.

  • Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество K ( x , y ) = K ( y , x ) {displaystyle K(x,;y)=K(y,;x)} .
  • Если выполняется тождество K ( x , y ) = K ( y , x ) ¯ {displaystyle K(x,;y)={overline {K(y,;x)}}} , где K ( y , x ) ¯ {displaystyle {overline {K(y,;x)}}} — комплексно сопряжённое к K ( x , y ) {displaystyle K(x,;y)} , то такое ядро называется эрмитовым.
  • Если ядро K ( x , y ) {displaystyle K(x,;y)} допускает разложение вида:
K ( x , y ) = ∑ k = 1 n X k ( x ) Y k ( y ) , {displaystyle K(x,;y)=sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),}

где { X i ( x ) } , { Y i ( y ) } {displaystyle {X_{i}(x)},;{Y_{i}(y)}} ( i = 1 , 2 , … , n ) {displaystyle (i=1,;2,;ldots ,;n)} — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ( L 2 {displaystyle L_{2}} -функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

  • Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера о разложении ядра гласит:



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: