Гипотеза Сельберга о дзета-функции

21.05.2021

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвуда. Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул гипотезу, что при фиксированном ε {displaystyle varepsilon } с условием 0 < ε < 0.001 {displaystyle 0<varepsilon <0.001} , достаточно большом T {displaystyle T} и H = T a + ε {displaystyle H=T^{a+varepsilon }} , a = 27 82 = 1 3 − 1 246 {displaystyle a={ frac {27}{82}}={ frac {1}{3}}-{ frac {1}{246}}} , промежуток ( T , T + H ) {displaystyle (T,T+H)} содержит не менее c H ln ⁡ T {displaystyle cHln T} вещественных нулей дзета-функции Римана ζ ( 1 2 + i t ) {displaystyle zeta {Bigl (}{ frac {1}{2}}+it{Bigr )}} . Сельберг доказал справедливость утверждения для случая H ≥ T 1 / 2 + ε {displaystyle Hgeq T^{1/2+varepsilon }} .

Доказательство гипотезы

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга.

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при T → + ∞ {displaystyle T o +infty } .

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков ( T , T + H ] {displaystyle (T,T+H]} , H = T ε {displaystyle H=T^{varepsilon }} , где ε {displaystyle varepsilon } — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках ( T , T + H ] {displaystyle (T,T+H]} , длина H {displaystyle H} которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени T {displaystyle T} . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел ε {displaystyle varepsilon } , ε 1 {displaystyle varepsilon _{1}} с условием 0 < ε , ε 1 < 1 {displaystyle 0<varepsilon ,varepsilon _{1}<1} почти все промежутки ( T , T + H ] {displaystyle (T,T+H]} при H ≥ exp ⁡ { ( ln ⁡ T ) ε } {displaystyle Hgeq exp {{(ln T)^{varepsilon }}}} содержат не менее H ( ln ⁡ T ) 1 − ε 1 {displaystyle H(ln T)^{1-varepsilon _{1}}} нулей функции ζ ( 1 2 + i t ) {displaystyle zeta {igl (}{ frac {1}{2}}+it{igr )}} . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: