Окрестность

06.08.2021

Окрестность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения

Математический анализ

Пусть ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} на числовой прямой (иногда говорят ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью) называется множество точек, удаленных от x 0 {displaystyle x_{0}} менее чем на ε {displaystyle varepsilon } , то есть O ε ( x 0 ) = { x : | x − x 0 | < ε } {displaystyle O_{varepsilon }(x_{0})={x:|x-x_{0}|<varepsilon }} .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый ε {displaystyle varepsilon } -шар с центром в точке x 0 {displaystyle x_{0}} .

В банаховом пространстве ( B , ‖ ⋅ ‖ ) {displaystyle (B,|cdot |)} окрестностью с центром в точке x 0 {displaystyle x_{0}} называют множество A = { x ∈ B : ‖ x − x 0 ‖ < ε } {displaystyle A={xin B:|x-x_{0}|<varepsilon }} .

В метрическом пространстве ( M , ρ ) {displaystyle (M, ho )} окрестностью с центром в точке y {displaystyle y} называют множество A = { x ∈ M : ρ ( x , y ) < ε } {displaystyle A={xin M: ho (x,y)<varepsilon }} .

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,{mathcal {T}})} , где X {displaystyle X} — произвольное множество, а T {displaystyle {mathcal {T}}} — определённая на X {displaystyle X} топология.

  • Множество V ⊂ X {displaystyle Vsubset X} называется окрестностью точки x ∈ X {displaystyle xin X} , если существует открытое множество U ∈ T {displaystyle Uin {mathcal {T}}} такое, что x ∈ U ⊂ V {displaystyle xin Usubset V} .
  • Аналогично окрестностью множества M ⊂ X {displaystyle Msubset X} называется такое множество V ⊂ X {displaystyle Vsubset X} , что существует открытое множество U ∈ T {displaystyle Uin {mathcal {T}}} , для которого выполнено M ⊂ U ⊂ V {displaystyle Msubset Usubset V} .

Свойства

Совокупность σ x {displaystyle sigma _{x}} всех окрестностей точки x {displaystyle x} в топологическом пространстве обладает следующими свойствами (здесь U , V , W {displaystyle U,V,W} — множества в топологическом пространстве, y {displaystyle y} — точка в топологическом пространстве):

  • x ∈ U {displaystyle xin U} ∀ {displaystyle forall } U ∈ σ x {displaystyle Uin sigma _{x}} .
  • если U ∈ σ x {displaystyle Uin sigma _{x}} и V ⊃ U {displaystyle Vsupset U} , то V ∈ σ x {displaystyle Vin sigma _{x}} .
  • пересечение конечного числа окрестностей из σ x {displaystyle sigma _{x}} принадлежит σ x {displaystyle sigma _{x}} .
  • ∀ {displaystyle forall } U ∈ σ x {displaystyle Uin sigma _{x}} ∃ {displaystyle exists } V ∈ σ x {displaystyle Vin sigma _{x}} такое, что V ⊂ U {displaystyle Vsubset U} и V ∈ σ y {displaystyle Vin sigma _{y}} для всех y ∈ V {displaystyle yin V} .
  • Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:

  • x ∈ U {displaystyle xin U} ∀ {displaystyle forall } U ∈ σ x {displaystyle Uin sigma _{x}} .
  • если U ∈ σ x {displaystyle Uin sigma _{x}} , V ∈ σ x {displaystyle Vin sigma _{x}} , то ∃ {displaystyle exists } W ⊂ U ∩ V ∈ σ x {displaystyle Wsubset Ucap Vin sigma _{x}} .
  • если U ∈ σ x {displaystyle Uin sigma _{x}} и y ∈ U {displaystyle yin U} , то ∃ {displaystyle exists } V ∈ σ y {displaystyle Vin sigma _{y}} , V ∈ U {displaystyle Vin U} .
  • Замечания

    • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V {displaystyle V} была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U {displaystyle U} . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
    • Окрестностью множества точек M {displaystyle M} называется такое множество V {displaystyle V} , что V {displaystyle V} есть окрестность любой точки x ∈ M {displaystyle xin M} .
    • Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой интервал, содержащий эту точку., а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.

    Пример

    Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда ( − 1 , 2 ) {displaystyle (-1,2)} является открытой окрестностью, а [ − 1 , 2 ] {displaystyle [-1,2]} — замкнутой окрестностью точки 0 {displaystyle 0} .

    Вариации и обобщения

    Проколотая окрестность

    Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

    Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

    Формальное определение: Множество V ˙ {displaystyle {dot {V}}} называется проколотой окрестностью (выколотой окрестностью) точки x ∈ X {displaystyle xin X} , если

    V ˙ = V ∖ { x } , {displaystyle {dot {V}}=Vsetminus {x},}

    где V {displaystyle V} — окрестность x {displaystyle x} .



    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: