Поляризация (алгебра Ли)

29.08.2021

Поляризация в теории представлений — максимальное вполне изотропное подпространство определённой кососимметрической билинейной формы на алгебре Ли. Понятие поляризации играет важную роль при построении неприводимых унитарных представлений некоторых классов групп Ли методом орбит, а также в гармоническом анализе на группах Ли и математической физике.

Определение

Пусть G {displaystyle G} — группа Ли, g {displaystyle {mathfrak {g}}} — её алгебра Ли, g ∗ {displaystyle {mathfrak {g}}^{*}} — сопряжённое к g {displaystyle {mathfrak {g}}} пространство. Посредством ⟨ f , X ⟩ {displaystyle langle f,,X angle } обозначим значение линейного функционала (ковектора) f ∈ g ∗ {displaystyle fin {mathfrak {g}}^{*}} на векторе X ∈ g {displaystyle Xin {mathfrak {g}}} . Подалгебра h {displaystyle {mathfrak {h}}} алгебры g {displaystyle {mathfrak {g}}} называется подчинённой ковектору f ∈ g ∗ {displaystyle fin {mathfrak {g}}^{*}} , если выполняется условие

⟨ f , [ X , Y ] ⟩ = 0 ∀ X , Y ∈ h {displaystyle langle f,,[X,,Y] angle =0quad forall quad X,Yin {mathfrak {h}}} ,

или, более коротко,

⟨ f , [ h , h ] ⟩ = 0 {displaystyle langle f,,[{mathfrak {h}},,{mathfrak {h}}] angle =0} .

Пусть, далее, группа G {displaystyle G} действует на пространстве g ∗ {displaystyle {mathfrak {g}}^{*}} коприсоединённым представлением A d ∗ {displaystyle mathrm {Ad} ^{*}} . Обозначим посредством O f {displaystyle {mathcal {O}}_{f}} орбиту этого действия, проходящую через точку f {displaystyle f} , а g f {displaystyle {mathfrak {g}}^{f}} — алгебру Ли группы S t a b ( f ) {displaystyle mathrm {Stab} (f)} — стабилизатора точки f {displaystyle f} . Подалгебра h ⊂ g {displaystyle {mathfrak {h}}subset {mathfrak {g}}} , подчинённая функционалу f {displaystyle f} , называется поляризацией алгебры g {displaystyle {mathfrak {g}}} относительно f {displaystyle f} , или, короче, поляризацией ковектора f {displaystyle f} , если она имеет максимально возможную размерность, а именно

dim ⁡ h = 1 2 ( dim g + dim g f ) = dim g − 1 2 dim O f {displaystyle dim {mathfrak {h}}={frac {1}{2}}left(dim ,{mathfrak {g}}+dim ,{mathfrak {g}}^{f} ight)=dim ,{mathfrak {g}}-{frac {1}{2}}dim ,{mathcal {O}}_{f}} .

Условие Пуканского

Исторически важную роль в развитии теории представлений сыграло приведённое ниже условие, найденное Л. Пуканским.

Пусть h {displaystyle {mathfrak {h}}} — поляризация, соответствующая ковектору f {displaystyle f} , h ⊥ {displaystyle {mathfrak {h}}^{perp }} — её аннулятор, то есть совокупность всех функционалов λ ∈ g ∗ {displaystyle lambda in {mathfrak {g}}^{*}} , значение которых на h {displaystyle {mathfrak {h}}} равно нулю: h ⊥ := { λ ∈ g ∗ | ⟨ λ , h ⟩ = 0 } {displaystyle {mathfrak {h}}^{perp }:={lambda in {mathfrak {g}}^{*}|langle lambda ,,{mathfrak {h}} angle =0}} . Поляризация h {displaystyle {mathfrak {h}}} называется нормальной, если выполнено условие, которое называется условием Пуканского:

Л. Пуканский показал, что условие (1) гарантирует применимость метода орбит А. Кириллова, разработанного изначально для нильпотентных групп Ли, также к более широкому классу разрешимых групп.

Свойства

  • Поляризация — это максимальное вполне изотропное подпространство билинейной формы ⟨ f , [ ⋅ , ⋅ ] ⟩ {displaystyle langle f,,[cdot ,,cdot ] angle } на алгебре Ли g {displaystyle {mathfrak {g}}} .
  • Поляризация существует не для всякой пары ( g , f ) {displaystyle ({mathfrak {g}},,f)} .
  • Если для функционала f {displaystyle f} существует поляризация, то она существует и для любой точки орбиты O f {displaystyle {mathcal {O}}_{f}} , причём если h {displaystyle {mathfrak {h}}} — поляризация для f {displaystyle f} , то A d g h {displaystyle mathrm {Ad} _{g}{mathfrak {h}}} — поляризация для A d g ∗ f {displaystyle mathrm {Ad} _{g}^{*}f} . Таким образом, существование поляризации — свойство орбиты в целом.
  • Если алгебра Ли g {displaystyle {mathfrak {g}}} вполне разрешима, то для неё существует поляризация относительно каждой точки f ∈ g ∗ {displaystyle fin {mathfrak {g}}^{*}} .
  • Если O {displaystyle {mathcal {O}}} — орбита общего положения, то относительно каждой её точки для любой алгебры Ли имеется поляризация, причём её можно выбрать разрешимой.
  • Если для орбиты O {displaystyle {mathcal {O}}} существует поляризация, то вложение O ↪ g ∗ {displaystyle {mathcal {O}}hookrightarrow {mathfrak {g}}^{*}} может быть реализовано функциями f i ( q , p ) ,   i = 1 , . . . , dim ⁡ g {displaystyle f_{i}(q,p), i=1,...,dim {mathfrak {g}}} , линейными по 1 / 2 dim ⁡ O {displaystyle 1/2,dim {mathcal {O}}} переменным p {displaystyle p} , где ( q , p ) {displaystyle (q,,p)} — канонические координаты для формы Кириллова на орбите O {displaystyle {mathcal {O}}} ..


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: