Принцип возможных перемещений

08.09.2021

Принцип возможных перемещений — один из вариационных принципов в теоретической механике, устанавливающий общее условие равновесия механической системы. Согласно этому принципу, для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ A i {displaystyle A_{i}} только активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю (если система приведена в это положение с нулевыми скоростями).

Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы.

Возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями (при этом время, входящее явно в уравнения нестационарных связей, считается зафиксированным). Проекции возможных перемещений на декартовы координатные оси называются вариациями декартовых координат.

Если, например, на систему наложено l {displaystyle l} голономных реономных связей:

f α ( r → , t ) = 0 , α = 1 , l ¯ {displaystyle f_{alpha }({vec {r}},t)=0,quad alpha ={overline {1,l}}}

То возможные перемещения Δ r → {displaystyle Delta {vec {r}}} — это те, которые удовлетворяют

∑ i = 1 N ∂ f α ∂ r → ⋅ Δ r → + ∂ f α ∂ t Δ t = 0 , α = 1 , l ¯ {displaystyle sum _{i=1}^{N}{frac {partial f_{alpha }}{partial {vec {r}}}}cdot Delta {vec {r}}+{frac {partial f_{alpha }}{partial t}}Delta t=0,quad alpha ={overline {1,l}}}

А виртуальные δ r → {displaystyle delta {vec {r}}} :

∑ i = 1 N ∂ f α ∂ r → δ r → = 0 , α = 1 , l ¯ {displaystyle sum _{i=1}^{N}{frac {partial f_{alpha }}{partial {vec {r}}}}delta {vec {r}}=0,quad alpha ={overline {1,l}}}

Виртуальные перемещения, вообще говоря, не имеют отношения к процессу движения системы — они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соотношения сил и получить условия равновесия. Малость же перемещений нужна для того, чтобы можно было считать реакции идеальных связей неизменными.

Принцип виртуальных перемещений

Согласно этому принципу: для равновесия механической системы, на точки которой наложены стационарные удерживающие идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ всех активных сил, приложенных к точкам системы, при любом виртуальном перемещении системы была равны нулю. Предполагается, что силы реакции связи (неактивные) не совершают работы из-за постулата идеальности связей. Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения, допускаемые связями, при «замороженном времени». То есть они отличаются от возможных перемещений только когда связи реономны (явно зависят от времени). Математически это запишется в виде

δ A = ∑ i = 1 n F i ⋅ δ r i = 0 {displaystyle delta A=sum _{i=1}^{n}{ extbf {F}}_{i}cdot delta { extbf {r}}_{i}=0}

Рассмотрим два стержня длиной 2l, соединённые шарнирно в точке B, помещённые на цилиндр радиуса r (см. рис). Вычислим расстояние z как функцию обобщённой координаты φ

z = A B − O B = l cos ⁡ ϕ − r sin ⁡ ϕ {displaystyle z=AB-OB=lcos {phi }-{frac {r}{sin {phi }}},}

а виртуальная работа получится из вариации δz

δ A = 2 P δ z = 2 P ( − l sin ⁡ ϕ + r cos ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ ) δ ϕ = 0 . {displaystyle delta A=2Pdelta z=2Pleft(-lsin {phi }+{frac {rcos {phi }}{sin ^{2}{phi }}} ight)delta phi =0,.}

Это равенство должно выполняться для всех возможных δ ϕ {displaystyle delta phi } , откуда получаем уравнение для определения угла ϕ {displaystyle phi } :

r cos ⁡ ϕ sin 2 ⁡ ϕ − l sin ⁡ ϕ = 0 . {displaystyle {frac {rcos {phi }}{sin ^{2}{phi }}}-lsin {phi }=0,.}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: