Абсолютная величина

09.10.2021

Абсолютная величина, или модуль, числа x {displaystyle x} (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между 0 и x. Обозначается: | x | . {displaystyle |x|.}

В случае вещественного x {displaystyle x} абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

| x | = { x , x > 0 , 0 , x = 0 , − x ,   x < 0. {displaystyle |x|={egin{cases}x,&x>0,,&x=0,-x,& x<0.end{cases}}}

При отрицательном x число −x как раз и получается положительным. Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина, комплексного числа z = x + i y . {displaystyle z=x+iy.} Это число определяется по формуле:

| z | = | x + i y | = x 2 + y 2 . {displaystyle |z|=|x+iy|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина | x 1 − x 2 | {displaystyle |x_{1}-x_{2}|} означает расстояние между точками x 1 {displaystyle x_{1}} и x 2 {displaystyle x_{2}} и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы.

Вещественные числа

  • Область определения: ( − ∞ ; + ∞ ) . {displaystyle (-infty ;+infty ).}
  • Область значений: [ 0 ; + ∞ ) . {displaystyle [0;+infty ).}
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x = 0 {displaystyle x=0} функция претерпевает излом.

Комплексные числа

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений: [ 0 ; + ∞ ) . {displaystyle [0;+infty ).}
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел a , b {displaystyle a,b} имеют место следующие соотношения:

  •   | x | = x 2 = x ⋅ sgn ⁡ x = m a x { x , − x } {displaystyle |x|={sqrt {x^{2}}}=xcdot operatorname {sgn} x={ m {max}},{x,,-x}} (sgn — функция знака);
  • a ⩽ | a | ; {displaystyle aleqslant |a|;}
  • − | a | ⩽ a ; {displaystyle -|a|leqslant a;}
  • квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: | a | 2 = a 2 . {displaystyle |a|^{2}=a^{2}.}

Как для вещественных, так и для комплексных a , b {displaystyle a,b} имеют место соотношения:

  • модуль любого числа равен либо больше нуля: | a | ⩾ 0 {displaystyle |a|geqslant 0} , причём | a | = 0 {displaystyle |a|=0} тогда и только тогда, когда a = 0 ; {displaystyle a=0;}
  • модули противоположных чисел равны: | − a | = | a | ; {displaystyle |{-a}|=|a|;}
  • модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: | a b | = | a | | b | ; {displaystyle |ab|=|a||b|;}
    • в частности, постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: | a b | = a | b | , a > 0 ; {displaystyle |ab|=a|b|,quad a>0;}
  • модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: | a b | = | a | | b | ; {displaystyle left|{frac {a}{b}} ight|={frac {|a|}{|b|}};}
  • | a + b | ⩽ | a | + | b | {displaystyle |a+b|leqslant |a|+|b|} (неравенство треугольника);
  • | a − b | ⩽ | a | + | b | ; {displaystyle |a-b|leqslant |a|+|b|;}
  • | a | − | b | ⩽ | a + b | ; {displaystyle |a|-|b|leqslant |a+b|;}
  • | a ± b | ⩾ | | a | − | b | | ; {displaystyle |apm b|geqslant {ig |}|a|-|b|{ig |};}
  • | a k | = | a | k , {displaystyle |a^{k}|=|a|^{k},} если a k {displaystyle a^{k}} существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Обобщение

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ‖ x ‖ {displaystyle |x|} . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: