Окрестность
Окрестность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки x 0 {displaystyle x_{0}} на числовой прямой (иногда говорят ε {displaystyle varepsilon } -окрестностью) называется множество точек, удаленных от x 0 {displaystyle x_{0}} менее чем на ε {displaystyle varepsilon } , то есть O ε ( x 0 ) = { x : | x − x 0 | < ε } {displaystyle O_{varepsilon }(x_{0})={x:|x-x_{0}|<varepsilon }} .
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый ε {displaystyle varepsilon } -шар с центром в точке x 0 {displaystyle x_{0}} .
В банаховом пространстве ( B , ‖ ⋅ ‖ ) {displaystyle (B,|cdot |)} окрестностью с центром в точке x 0 {displaystyle x_{0}} называют множество A = { x ∈ B : ‖ x − x 0 ‖ < ε } {displaystyle A={xin B:|x-x_{0}|<varepsilon }} .
В метрическом пространстве ( M , ρ ) {displaystyle (M, ho )} окрестностью с центром в точке y {displaystyle y} называют множество A = { x ∈ M : ρ ( x , y ) < ε } {displaystyle A={xin M: ho (x,y)<varepsilon }} .
Общая топология
Пусть задано топологическое пространство ( X , T ) {displaystyle (X,{mathcal {T}})} , где X {displaystyle X} — произвольное множество, а T {displaystyle {mathcal {T}}} — определённая на X {displaystyle X} топология.
- Множество V ⊂ X {displaystyle Vsubset X} называется окрестностью точки x ∈ X {displaystyle xin X} , если существует открытое множество U ∈ T {displaystyle Uin {mathcal {T}}} такое, что x ∈ U ⊂ V {displaystyle xin Usubset V} .
- Аналогично окрестностью множества M ⊂ X {displaystyle Msubset X} называется такое множество V ⊂ X {displaystyle Vsubset X} , что существует открытое множество U ∈ T {displaystyle Uin {mathcal {T}}} , для которого выполнено M ⊂ U ⊂ V {displaystyle Msubset Usubset V} .
Свойства
Совокупность σ x {displaystyle sigma _{x}} всех окрестностей точки x {displaystyle x} в топологическом пространстве обладает следующими свойствами (здесь U , V , W {displaystyle U,V,W} — множества в топологическом пространстве, y {displaystyle y} — точка в топологическом пространстве):
Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность V {displaystyle V} была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество U {displaystyle U} . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта. Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Окрестностью множества точек M {displaystyle M} называется такое множество V {displaystyle V} , что V {displaystyle V} есть окрестность любой точки x ∈ M {displaystyle xin M} .
- Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой интервал, содержащий эту точку., а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда ( − 1 , 2 ) {displaystyle (-1,2)} является открытой окрестностью, а [ − 1 , 2 ] {displaystyle [-1,2]} — замкнутой окрестностью точки 0 {displaystyle 0} .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество V ˙ {displaystyle {dot {V}}} называется проколотой окрестностью (выколотой окрестностью) точки x ∈ X {displaystyle xin X} , если
V ˙ = V ∖ { x } , {displaystyle {dot {V}}=Vsetminus {x},}где V {displaystyle V} — окрестность x {displaystyle x} .