Паракомпактное пространство

26.01.2022

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство U {displaystyle {mathcal {U}}} множеств, лежащих в топологическом пространстве X {displaystyle X} , называется локально конечным в X {displaystyle X} , если у каждой точки x ∈ X {displaystyle xin X} существует окрестность в X {displaystyle X} , пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства U {displaystyle {mathcal {U}}} ; семейство U {displaystyle {mathcal {U}}} множеств вписано в семейство V {displaystyle {mathcal {V}}} множеств, если каждый элемент семейства U {displaystyle {mathcal {U}}} содержится в некотором элементе семейства V {displaystyle {mathcal {V}}} .)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство нормально. Это позволяет строить на паракомпактах разбиения единицы, подчиненные произвольному заданному открытому покрытию.

Свойства

  • В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
    • если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем;
    • если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно полно по Чеху.
  • Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
  • Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
  • В классе хаусдорфовых пространств
    • Прообраз паракомпакта при совершенном отображении является паракомпактом,
    • Образ паракомпакта при непрерывном замкнутом отображении является паракомпактом.
  • К числу паракомпактов относятся, в частности, пространства Линделёфа. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном тихоновском пространстве, наделенном топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
  • Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нем компактом, то оно паракомпактно.
  • Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) .
    • Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку x ∈ X {displaystyle xin X} , непременно образует базу в этой точке.
  • Все компакты паракомпактны, но
    • Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Связанные определения

Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать точечно конечное открытое покрытие.

Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать звёздно конечное открытое покрытие.

Субпаракомпактное пространство (Fσ-просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: