Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

15.02.2022

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j {displaystyle sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}

В силу симметричности матрицы a i j ( a i j = a j i ) {displaystyle a_{ij}(a_{ij}=a_{ji})} квадратичную форму можно переписать следующим образом:

∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j = ∑ i = 1 n ( a i i x i 2 + ∑ j = i + 1 n 2 a i j x i x j ) {displaystyle {sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}={sum _{i=1}^{n}({a_{ii}{x_{i}}^{2}+sum _{j=i+1}^{n}{2a_{ij}x_{i}x_{j}}})}}

Возможны два случая:

хотя бы один из коэффициентов a i i {displaystyle a_{ii}} при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать a 11 ≠ 0 {displaystyle a_{11} eq 0} (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

все коэффициенты a i i = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n {displaystyle a_{ii}=0,i=1,2,...,n} , но есть коэффициент a i j , i ≠ j {displaystyle a_{ij},i eq j} , отличный от нуля (для определённости пусть будет a 12 ≠ 0 {displaystyle a_{12} eq 0} ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( a 11 x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + . . . + 2 a 1 n x 1 x n ) + f 1 ( x 2 , x 3 , . . . , x n ) = {displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{1n}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=} = 1 a 11 ( a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n ) 2 − 1 a 11 ( a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n ) 2 + f 1 ( x 2 , x 3 , . . . , x n ) = {displaystyle ={frac {1}{a_{11}}}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}-{frac {1}{a_{11}}}(a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=} = 1 a 11 y 1 2 + f 2 ( x 2 , x 3 , . . . , x n ) {displaystyle ={frac {1}{a_{11}}}y_{1}^{2}+f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})} , где

y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n {displaystyle y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}} , а через f 2 ( x 2 , x 3 , . . . , x n ) {displaystyle f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})} обозначены все остальные слагаемые.

f 2 ( x 2 , . . . , x n ) {displaystyle f_{2}(x_{2},...,x_{n})} представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных x 2 , x 3 , . . . , x n {displaystyle x_{2},x_{3},...,x_{n}} .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что y 1 = 1 2 ∂ f ∂ x 1 {displaystyle y_{1}={frac {1}{2}}{frac {partial f}{partial x_{1}}}}

Второй случай заменой переменных x 1 = y 1 + y 2 , x 2 = y 1 − y 2 , x 3 = y 3 , . . . , x n = y n {displaystyle x_{1}=y_{1}+y_{2},x_{2}=y_{1}-y_{2},x_{3}=y_{3},...,x_{n}=y_{n}} сводится к первому.