Расстояние Гарнака

18.04.2022

Расстояние Гарнака — функция от двух комплексных чисел заданной области D ⊂ C ∞ {displaystyle Dsubset mathbb {C} _{infty }} , наименьшее действительное число τ D ( z , w ) {displaystyle au _{D}(z,w)} , такое что для каждой положительной гармонической функции h {displaystyle h} над D {displaystyle D} выполнены неравенства:

τ D ( z , w ) − 1 h ( w ) ⩽ h ( z ) ⩽ τ D ( z , w ) h ( w ) {displaystyle au _{D}(z,w)^{-1}h(w)leqslant h(z)leqslant au _{D}(z,w)h(w)} .

Существование такой функции следует из неравенства Гарнака. Введено немецким математиком Акселем Гарнаком; широко используется в комплексном анализе в вопросах, связанных с гармоническими функциями, применяется для решения задачи Дирихле.

Несмотря на название, не является функцией расстояния в строгом смысле; при этом функция log ⁡ τ D {displaystyle log au _{D}} является непрерывной псевдометрикой.

Принцип субординации: для мероморфного преобразования f : D 1 → D 2 {displaystyle f:D_{1} o D_{2}} между областями D 1 {displaystyle D_{1}} и D 2 {displaystyle D_{2}} в C ∞ {displaystyle mathbb {C} _{infty }} и любых z , w ∈ D 1 {displaystyle z,win D_{1}} имеет место:

τ D 2 ( f ( z ) , f ( w ) ) ⩽ τ D 1 ( z , w ) {displaystyle au _{D_{2}}(f(z),f(w))leqslant au _{D_{1}}(z,w)} ,

причём равенство достигается только если f {displaystyle f} является конформным отображением. В частности, из этого следует, что если D 1 ⊂ D 2 {displaystyle D_{1}subset D_{2}} , то τ D 2 ( z , w ) ⩽ τ D 1 ( z , w ) {displaystyle au _{D_{2}}(z,w)leqslant au _{D_{1}}(z,w)} .

Например, для открытого круга Δ = Δ ( w , ρ ) {displaystyle Delta =Delta (w, ho )} с центром в w {displaystyle w} и радиусом ρ {displaystyle ho } и любого z ∈ Δ {displaystyle zin Delta } :

τ Δ ( z , w ) = ρ + | z − w | ρ − | z − w | {displaystyle au _{Delta }(z,w)={frac { ho +|z-w|}{ ho -|z-w|}}} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: