Зацепление (теория узлов)
Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы μ {displaystyle mu } экземпляров окружности в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} или S 3 {displaystyle S^{3}} называется зацеплением кратности μ {displaystyle mu } .
Зацепление кратности μ = 1 {displaystyle mu =1} называется узлом.
Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.
Объемлемо-изотопические классы зацеплений называются типами зацеплений. Зацепления одного типа называются эквивалентными.
Зацепление, состоящее из некоторых компонент зацепления L {displaystyle L} , называется его частичным зацеплением.
Говорят, что зацепление распадается (или расщепляется), если два его частичных зацепления разделены в S 3 {displaystyle S^{3}} двумерной сферой.
Некоторые типы зацеплений
- Зацепление « 0 , 0 , … , 0 {displaystyle 0,;0,;ldots ,;0} », лежащее в плоскости в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} , называется тривиальным.
- Зацепление называется брунновым, если распадается каждое его частичное зацепление, кроме него самого.
- Наиболее изучены кусочно линейные зацепления. Рассмотрение гладких или локально плоских топологических вложений в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} приводит к теории совпадающей с кусочно линейной.
- Кроме плоскости всякое зацепление можно расположить на стандартно вложенной в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} замкнутой поверхности. Например, зацепление можно расположить на незаузленном торе или кренделе, тогда такое зацепление будет называться соответственно торическим, или крендельным.
- Зацепление, лежащее на границе трубчатой окрестности узла называется обмоткой узла k {displaystyle k} . Зацепление, которое можно получить многократным взятием обмоток, начиная с тривиального узла, называется трубчатым, или сложным кабельтовым.
Задание зацеплений
Обычно зацепления задаются посредством так называемых диаграмм узлов и зацеплений. Этот способ тесно связан с понятием кос. Если в косе из 2 n {displaystyle 2n} нитей соединить вверху и внизу по n {displaystyle n} пар соседних концов отрезками, то получится зацепление, называемое 2 n {displaystyle 2n} -сплетением.
Другой способ конструирования зацеплений из кос состоит в замыкании кос. Если между двумя параллельными плоскостями Π 1 {displaystyle Pi _{1}} и Π 2 {displaystyle Pi _{2}} в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} взять 2 m {displaystyle 2m} ортогональных им отрезков и соединить их концы попарно m {displaystyle m} дугами в Π 1 {displaystyle Pi _{1}} и m {displaystyle m} дугами в Π 2 {displaystyle Pi _{2}} без пересечений, то сумма всех дуг и отрезков даст зацепление. Зацепление, допускающее такое представление, называется зацеплением с m {displaystyle m} мостами.
Примеры зацеплений
- Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами , состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно и названо по имени Хайнца Хопфа.
- Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением
- Кольца Борромео — это зацепление, состоящее из трёх топологических окружностей, которые сцеплены и образуют брунново зацепление (то есть удаление любого кольца приведёт к разъединению двух оставшихся колец). Другими словами, никакие два из трёх колец не сцеплены как в зацеплении Хопфа, тем не менее, все вместе они сцеплены.