Треугольник Шарыгина

06.06.2022

Треугольник Шарыгина — треугольник, не являющийся равнобедренным, основания биссектрис которого образуют равнобедренный треугольник.

Был впервые рассмотрен Игорем Фёдоровичем Шарыгиным в 1982 году в книге «Задачи по геометрии. Планиметрия».

Треугольники Шарыгина представляют интерес, так как существуют в отличие от аналогичных треугольников, в определении которых вместо биссектрис использованы, например, медианы или высоты.

Существование треугольников Шарыгина

Для любого угла α {displaystyle alpha } такого, что − 1 4 < cos ⁡ ( α ) < 17 − 5 4 {displaystyle -{frac {1}{4}}<cos(alpha )<{frac {{sqrt {17}}-5}{4}}} , существует с точностью до подобия ровно один треугольник Шарыгина с одним из углов, равным α {displaystyle alpha } , причём для любого треугольника Шарыгина косинус одного из его углов лежит в указанном интервале.

Сам угол α {displaystyle alpha } в градусах удовлетворяет приближённому двойному неравенству 102,663 ∘ ≲ α ≲ 104,478 ∘ {displaystyle 102{,}663^{circ }lesssim alpha lesssim 104{,}478^{circ }} .

Доказательство

Пусть △ A B C {displaystyle vartriangle ABC} — треугольник Шарыгина, a {displaystyle a} , b {displaystyle b} и c {displaystyle c} — его стороны (см. рисунок), A A 1 {displaystyle AA_{1}} , B B 1 {displaystyle BB_{1}} и C C 1 {displaystyle CC_{1}} — его биссектрисы, и A 1 B 1 = A 1 C 1 {displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}} .

Предположим, A A 1 {displaystyle AA_{1}} является серединным перпендикуляром к отрезку B 1 C 1 {displaystyle B_{1}C_{1}} . Тогда углы ∠ A I B {displaystyle angle AIB} и ∠ A I C {displaystyle angle AIC} равны, а углы ∠ I A C {displaystyle angle IAC} и ∠ I A B {displaystyle angle IAB} также равны, так как прямая A I {displaystyle AI} является биссектрисой угла ∠ C A B {displaystyle angle CAB} , следовательно, по теореме о сумме углов треугольника для треугольников △ A C I {displaystyle vartriangle ACI} и △ A B I {displaystyle vartriangle ABI} углы ∠ A C I {displaystyle angle ACI} и ∠ A B I {displaystyle angle ABI} равны, а значит, равны и углы ∠ A C B = 2 ∠ A C I {displaystyle angle ACB=2angle ACI} и ∠ A B C = 2 ∠ A B I {displaystyle angle ABC=2angle ABI} , из чего следует, что треугольник △ A B C {displaystyle vartriangle ABC} равнобедненный, то есть не является треугольником Шарыгина по определению.

Итак, A A 1 {displaystyle AA_{1}} не является серединным перпендикуляром к отрезку B 1 C 1 {displaystyle B_{1}C_{1}} . Тогда точка A 1 {displaystyle A_{1}} является пересечением биссектрисы угла ∠ B 1 A C 1 {displaystyle angle B_{1}AC_{1}} и серединного перпендикуляра к отрезку B 1 C 1 {displaystyle B_{1}C_{1}} , которое лежит на описанной окружности треугольника △ A B 1 C 1 {displaystyle vartriangle AB_{1}C_{1}} по следствию из теоремы о вписанном угле. Тогда четырёхугольник A B 1 A 1 C 1 {displaystyle AB_{1}A_{1}C_{1}} является вписанным, следовательно, ∠ A B 1 A 1 + ∠ A C 1 A 1 = 180 ∘ {displaystyle angle AB_{1}A_{1}+angle AC_{1}A_{1}=180^{circ }} , а значит, сумма углов ∠ C B 1 A 1 {displaystyle angle CB_{1}A_{1}} и ∠ B C 1 A 1 {displaystyle angle BC_{1}A_{1}} , как смежных к углам ∠ A B 1 A 1 {displaystyle angle AB_{1}A_{1}} и ∠ A C 1 A 1 {displaystyle angle AC_{1}A_{1}} соответственно, также равна 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} .

Приложим друг к другу треугольники △ C A 1 B 1 {displaystyle vartriangle CA_{1}B_{1}} и △ B A 1 C 1 {displaystyle vartriangle BA_{1}C_{1}} по равным сторонам A 1 B 1 {displaystyle A_{1}B_{1}} и A 1 C 1 {displaystyle A_{1}C_{1}} соответственно. Получим треугольник, подобный треугольнику △ A B C {displaystyle vartriangle ABC} по первому признаку подобия треугольников. Нетрудно убедиться, что его стороны будут равны a c b + c {displaystyle {frac {ac}{b+c}}} , a b b + c {displaystyle {frac {ab}{b+c}}} и a c a + b + a b a + c {displaystyle {frac {ac}{a+b}}+{frac {ab}{a+c}}} . Тогда из подобия получаем c a + b + b a + c = a c a + b + a b a + c a = C B 1 + C 1 B C B = C A 1 + A 1 B C A + A B = a b + c , {displaystyle {frac {c}{a+b}}+{frac {b}{a+c}}={frac {{frac {ac}{a+b}}+{frac {ab}{a+c}}}{a}}={frac {CB_{1}+C_{1}B}{CB}}={frac {CA_{1}+A_{1}B}{CA+AB}}={frac {a}{b+c}},} что можно переписать в виде b 3 + c 3 − a 3 + b 2 c + b 2 a + c 2 b + c 2 a − a 2 b − a 2 c + a b c = 0. {displaystyle b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}a-a^{2}b-a^{2}c+abc=0.}

Обозначим косинус угла ∠ B A C {displaystyle angle BAC} через x {displaystyle x} . Тогда по теореме косинусов b 2 + c 2 − a 2 = 2 b c x {displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx} , причём b c ( 2 x ( a + b + c ) + a ) = 2 b c x ( a + b + c ) + a b c = {displaystyle bc(2x(a+b+c)+a)=2bcx(a+b+c)+abc=} ( b 2 + c 2 − a 2 ) ( a + b + c ) + a b c = {displaystyle (b^{2}+c^{2}-a^{2})(a+b+c)+abc=} b 3 + c 3 − a 3 + b 2 c + b 2 a + c 2 b + c 2 a − a 2 b − a 2 c + a b c = 0 , {displaystyle b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}a-a^{2}b-a^{2}c+abc=0,} следовательно, будет верно равенство 2 x ( a + b + c ) + a = 0 {displaystyle 2x(a+b+c)+a=0} , что с учётом неравенства треугольника 0 < a < b + c {displaystyle 0<a<b+c} даёт ограничения − 1 4 < x < 0. {displaystyle -{frac {1}{4}}<x<0.}

2 x ( a + b + c ) + a = 0 ⇒ a = − 2 x ( b + c ) 2 x + 1 . {displaystyle 2x(a+b+c)+a=0Rightarrow a=-{frac {2x(b+c)}{2x+1}}.} Подставив данное значение в равенство b 2 + c 2 − a 2 = 2 b c x {displaystyle b^{2}+c^{2}-a^{2}=2bcx} и разделив его на c 2 {displaystyle c^{2}} , получим квадратное уравнение на b c : {displaystyle {frac {b}{c}}:}
( 4 x + 1 ) ( b c ) 2 − ( 8 x 3 + 16 x 2 + 2 x ) ( b c ) + ( 4 x + 1 ) . {displaystyle (4x+1){Big (}{frac {b}{c}}{Big )}^{2}-(8x^{3}+16x^{2}+2x){Big (}{frac {b}{c}}{Big )}+(4x+1).} Первый и третий члены меньше нуля, а значит, средний член должен быть больше нуля. b c > 0 {displaystyle {frac {b}{c}}>0} , следовательно, 8 x 3 + 16 x 2 + 2 x > 0 {displaystyle 8x^{3}+16x^{2}+2x>0} . Полученное уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда его дискриминант, равный 1 4 ( ( 8 x 3 + 16 x 2 + 2 x ) 2 − ( 4 x + 1 ) 2 ) = {displaystyle {frac {1}{4}}((8x^{3}+16x^{2}+2x)^{2}-(4x+1)^{2})=} 1 4 ( 2 x + 1 ) 2 ( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 2 x 2 + 5 x + 1 ) , {displaystyle {frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1),} не меньше нуля, причём только одно из этих решений будет положительным. Случай, когда дискриминант равен нулю, не удовлетворяет условию b ≠ c {displaystyle b eq c} , следовательно, требуется его строгая положительность.

Следовательно, треугольник Шарыгина с cos ⁡ ( ∠ B A C ) = x {displaystyle cos(angle BAC)=x} существует тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия: − 1 4 < x < 0 , {displaystyle -{frac {1}{4}}<x<0,} 8 x 3 + 16 x 2 + 2 x > 0 , {displaystyle 8x^{3}+16x^{2}+2x>0,} 1 4 ( 2 x + 1 ) 2 ( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 2 x 2 + 5 x + 1 ) > 0 , {displaystyle {frac {1}{4}}(2x+1)^{2}(x+1)(2x-1)(2x^{2}+5x+1)>0,} причём для данного x {displaystyle x} он всегда единственен. Эти три условия равносильны ограничениям − 1 4 < x < 17 − 5 4 . {displaystyle -{frac {1}{4}}<x<{frac {{sqrt {17}}-5}{4}}.}


Кубика Шарыгина

Кубикой Шарыгина называется полученная в доказательстве выше кубика b 3 + c 3 − a 3 + b 2 c + b 2 a + c 2 b + c 2 a − a 2 b − a 2 c + a b c = 0 {displaystyle b^{3}+c^{3}-a^{3}+b^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+c^{2}a-a^{2}b-a^{2}c+abc=0} (имеющая более простой, но не удовлетворяющий формальному определению кубики вариант записи: c a + b + b a + c = a b + c {displaystyle {frac {c}{a+b}}+{frac {b}{a+c}}={frac {a}{b+c}}} ), задающая необходимое и достаточное условие для того, чтобы треугольник со сторонами a , b , c {displaystyle a,b,c} являлся треугольником Шарыгина с равными сторонами A 1 B 1 = A 1 C 1 {displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}} (см. рисунок).

Конкретные примеры

В правильных многоугольниках

На момент 2017 года известен только один пример треугольника Шарыгина, вершины которого могут являться некоторыми вершинами правильного многоугольника. В данном примере вершины треугольника являются первой, второй и четвёртой вершинами правильного семиугольника.

Доказательство

Пусть U 0 , U 1 , … , U 13 {displaystyle U_{0},U_{1},dots ,U_{13}} — вершины правильного 14 {displaystyle 14} -угольника, а △ U 0 U 2 U 6 {displaystyle vartriangle U_{0}U_{2}U_{6}} — наш треугольник, вершины которого являются также вершинами правильного 7 {displaystyle 7} -угольника U 0 , U 2 , … , U 12 {displaystyle U_{0},U_{2},dots ,U_{12}} . Обозначим вершины треугольника, образованного основаниями биссектрис △ U 0 U 2 U 6 {displaystyle vartriangle U_{0}U_{2}U_{6}} , через A , B , C {displaystyle A,B,C} (см. рисунок). Докажем, что B C = B A {displaystyle BC=BA} .

По свойству биссектрисы вписанного угла биссектрисы U 0 A , U 2 B , U 6 C {displaystyle U_{0}A,;U_{2}B,;U_{6}C} проходят через точки U 4 , U 10 , U 1 {displaystyle U_{4},U_{10},U_{1}} соответственно. Точка B {displaystyle B} лежит на диагоналях четырнадцатиугольника U 0 U 6 {displaystyle U_{0}U_{6}} и U 2 U 10 {displaystyle U_{2}U_{10}} , которые симметричны относительно диагонали U 1 U 8 {displaystyle U_{1}U_{8}} , следовательно, точка B {displaystyle B} также лежит на диагонали U 1 U 8 {displaystyle U_{1}U_{8}} . Обозначим пересечение диагоналей U 0 U 2 {displaystyle U_{0}U_{2}} и U 1 U 10 {displaystyle U_{1}U_{10}} через C 1 {displaystyle C_{1}} . Точка C {displaystyle C} является пересечением диагоналей U 0 U 2 {displaystyle U_{0}U_{2}} и U 1 U 6 {displaystyle U_{1}U_{6}} , причём диагонали U 1 U 6 {displaystyle U_{1}U_{6}} и U 1 U 10 {displaystyle U_{1}U_{10}} симметричны друг другу относительно диагонали U 1 U 8 {displaystyle U_{1}U_{8}} , а диагональ U 0 U 2 {displaystyle U_{0}U_{2}} симметрична сама себе относительно той же диагонали. Следовательно, точки C {displaystyle C} и C 1 {displaystyle C_{1}} симметричны друг другу относительно диагонали U 1 U 8 {displaystyle U_{1}U_{8}} . Как мы уже знаем, точка B {displaystyle B} лежит на этой диагонали, следовательно, отрезки B C {displaystyle BC} и B C 1 {displaystyle BC_{1}} симметричны относительно неё, то есть и равны.

Докажем теперь, что B C 1 = B A {displaystyle BC_{1}=BA} . Прямые U 2 U 6 {displaystyle U_{2}U_{6}} и U 2 U 0 {displaystyle U_{2}U_{0}} симметричны относительно U 2 U 10 {displaystyle U_{2}U_{10}} . Углы ∠ U 10 U 1 U 2 {displaystyle angle U_{10}U_{1}U_{2}} и ∠ U 10 U 3 U 2 {displaystyle angle U_{10}U_{3}U_{2}} опираются на равные дуги, а значит, равны по следствию из теоремы о вписанном угле. Следовательно, прямые U 10 U 1 {displaystyle U_{10}U_{1}} и U 10 U 3 {displaystyle U_{10}U_{3}} также симметричны относительно U 2 U 10 {displaystyle U_{2}U_{10}} . Значит, точки A {displaystyle A} и C 1 {displaystyle C_{1}} симметричны относительно U 2 U 10 {displaystyle U_{2}U_{10}} как пересечения прямых U 2 U 6 {displaystyle U_{2}U_{6}} с U 10 U 3 {displaystyle U_{10}U_{3}} и U 2 U 0 {displaystyle U_{2}U_{0}} с U 10 U 1 {displaystyle U_{10}U_{1}} соответственно. При этом точка B {displaystyle B} лежит на отрезке U 2 U 10 {displaystyle U_{2}U_{10}} . Следовательно, отрезки B A {displaystyle BA} и B C 1 {displaystyle BC_{1}} симметричны относительно U 2 U 10 {displaystyle U_{2}U_{10}} , то есть и равны.

Итак, B C = B C 1 {displaystyle BC=BC_{1}} и B C 1 = B A {displaystyle BC_{1}=BA} , а значит, B C = B A {displaystyle BC=BA} , то есть треугольник A B C {displaystyle ABC} равнобедренный.

С целыми длинами сторон

Существует бесконечное количество различных целочисленных треугольников Шарыгина, что было доказано при помощи теории эллиптических кривых (конкретно была рассмотрена эллиптическая кривая, задаваемая кубикой Шарыгина). Пример, одна из сторон в котором является наименьшей из возможных, имеет следующий набор сторон: 1 481 089 , 18 800 081 , 19 214 131 {displaystyle 1,481,089,18,800,081,19,214,131} . Минимальность данного примера была выяснена простым перебором.

Вариации

  • Рассматриваются также аналогичные треугольники, в которых равнобедренным является не треугольник, образованный основаниями биссектрис внутренних углов, а треугольник, образованный одним основанием биссектрисы внутреннего угла и двумя основаниями внешних биссектрис к двум другим углам.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: