Круговое поле

11.07.2022

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле K n = Q ( u ) {displaystyle K_{n}=mathbb {Q} (u)} , порождённое присоединением к полю рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } первообразного корня n-й степени из единицы u {displaystyle u} . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел.

Название поля связано с тем, что деление единичной окружности на n равных частей равносильно построению первообразного корня из единицы n-й степени на комплексной плоскости. Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: K 3 {displaystyle K_{3}} состоит из комплексных чисел вида a + b 3   i {displaystyle a+b{sqrt {3}} i} , где a , b {displaystyle a,b} — рациональные числа.

Свойства

  • Круговое поле содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними. Оно не зависит от выбора первообразного корня n-й степени из единицы.
    • Следствие: круговое поле является полем разложения многочлена x n − 1 {displaystyle x^{n}-1} .
  • K 4 n + 2 = K 2 n + 1 {displaystyle K_{4n+2}=K_{2n+1}} , поэтому обычно предполагается, что остаток от деления n на 4 не равен 2 ( n ≢ 2 ( mod 4 ) ) {displaystyle (n ot equiv 2{pmod {4}})} . При выполнении этого условия разным n соответствуют неизоморфные круговые поля.
  • Поле K n {displaystyle K_{n}} является абелевым расширением поля Q {displaystyle {mathbb {Q} }} с группой Галуа G ( K n / Q ) ≃ ( Z / n Z ) ∗ , {displaystyle G(K_{n}/{mathbb {Q} })simeq (mathbb {Z} /nmathbb {Z} )^{*},}
где ( Z / n Z ) ∗ {displaystyle (mathbb {Z} /nmathbb {Z} )^{*}} — мультипликативная группа классов вычетов по модулю n. Степень расширения [ K n : Q ] {displaystyle [K_{n}:{mathbb {Q} }]} равна φ(n) (функция Эйлера).

Теорема Кронекера — Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: