Центральная сила

16.07.2022

Сила F, действующая на точку P, называется центральной с центром в точке O, если во всё время движения она действует вдоль линии, соединяющей точки O и P.

Основные свойства

  • Если материальная точка совершает движение под действием центральной силы с центром O, то момент количества движения точки сохраняется, а она сама совершает движение в плоскости, перпендикулярной вектору момента количества движения относительно точки O и проходящей через эту точку O.
  • Если система материальных точек совершает движение под действием центральных сил c общим центром O, то момент количества движения системы сохраняется.
  • Если действующая на точку P центральная сила зависит лишь от её расстояния | r | {displaystyle |mathbf {r} |} до центра O, то такая центральная сила потенциальна: существует функция U, называемая потенциалом, такая, что
F ( r ) = − ∇ U ( | r | ) {displaystyle mathbf {F} (mathbf {r} )=-mathbf { abla } U(|mathbf {r} |)}
  • Формула Бине позволяет определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Примеры центральных сил

  • Центральная сила ньютоновского притяжения (величина силы F(r) пропорциональна 1/r2)
  • Сила Кулона (величина силы F(r) пропорциональна 1/r2)
  • Сила Гука (величина силы F(r) пропорциональна r)

Движение под действием центральной силы

Как видно на Рис.1 единственная действующая между телами α {displaystyle alpha } и K {displaystyle K} сила F → {displaystyle {vec {F}}} может быть разложена на две составляющие: F → = F → t + F → n {displaystyle {vec {F}}={vec {F}}_{t}+{vec {F}}_{n}} (2)

При этом F → t {displaystyle {vec {F}}_{t}} есть тангенциальная сила, в зависимости от направления движения тела по своей траектории на рисунке либо тормозящая его движение, либо ускоряющая его.

F → n {displaystyle {vec {F}}_{n}} есть сила, направленная по нормали к касательной к траектории в сторону мгновенного центра и потому являющаяся центростремительной силой.

Непосредственно из определения понятий о моментах силы и момента количества движения (момента импульса) следует экспериментально подтверждаемый факт, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела L → {displaystyle {vec {L}}} прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы M → {displaystyle {vec {M}}} :

d L → d t = M → ( 3 ) {displaystyle {frac {d{vec {L}}}{dt}}={vec {M}}(3)}

Однако в поле центральной силы её момент всегда равен нулю (Формула (1)). Из этого непосредственно следует, что при любом движении тела в поле центральной силы момент количества движения движущегося под её действием тела остаётся постоянным:

L → = c o n s t ( 4 ) {displaystyle {vec {L}}=const(4)} . Но, поскольку постоянство вектора есть одновременно и сохранение его направления в пространстве, то заметаемая при движении тела площадка всегда лежит в одной и той же плоскости. Из этого следует, что любая траектория движения тела под действием центральной силы есть плоская кривая.

Наиболее часто движение тел в гравитационном поле изучают в области небесной механики, где преобладают гравитационные воздействия, и потому изучаемая система взаимодействующих сил может рассматриваться как консервативная система, то есть такая, в которой сохраняется полная энергия тела в виде суммы потенциальной и кинетической энергии.

E = W k + W p {displaystyle E=W_{k}+W_{p}} (25), где:

W k = m 2 ( v n 2 + v t 2 ) ( 26 ) {displaystyle W_{k}={frac {m}{2}}(v_{n}^{2}+v_{t}^{2})(26)} причём v n {displaystyle v_{n}} и v t {displaystyle v_{t}} соответствуют скоростям, создаваемым нормальной и тангенциальной составляющей действующей на тело силы на Рис.1

Воспользовавшись определением кинетического момента: L = m r v t {displaystyle L=mrv_{t}} получаем для кинетической энергии тангенциального движения соотношение:

W k ( t ) = L 2 2 m r 2 ( 27 ) {displaystyle W_{k}(t)={frac {L^{2}}{2mr^{2}}}(27)} .

А для движения по нормали к траектории: W k ( n ) = m v n 2 2 ( 28 ) {displaystyle W_{k}(n)={frac {mv_{n}^{2}}{2}}(28)}

W p = G m M r ( 29 ) {displaystyle W_{p}={frac {GmM}{r}}(29)}

Тогда выражение для полной энергии тела будет иметь вид:

E = m v n 2 2 + L 2 2 m r 2 − G m M r ( 30 ) {displaystyle E={frac {mv_{n}^{2}}{2}}+{frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{frac {GmM}{r}}(30)}

Введя в рассмотрение эффективный потенциал U ∗ {displaystyle U^{*}} :

U ∗ = L 2 2 m r 2 − G m M r ( 31 ) {displaystyle U^{*}={frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{frac {GmM}{r}}(31)}

Получаем возможность связать диапазон изменения длины радиус-вектора траектории тела с запасённой им энергией, что представлено на рис.2.

Так при минимальной энергии движущегося тела E 3 {displaystyle E_{3}} тело движется по круговой орбите с радиусом r 0 {displaystyle r_{0}}

Если энергия движения тела больше, скажем E 2 {displaystyle E_{2}} , траектория тела будет представлять эллипс с малой полуосью r a {displaystyle r_{a}} и большой r b {displaystyle r_{b}} .

Наконец, при энергии E 1 {displaystyle E_{1}} тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние r s {displaystyle r_{s}}



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: