Множество раздела

Множество раздела точки p {displaystyle p} в римановом многообразии M {displaystyle M} — подмножество точек C p ⊂ M {displaystyle operatorname {C} _{p}subset M} , через которые не проходит ни одна кратчайшая из p {displaystyle p} .

Множество раздела также называется катлокус, от англ. cut locus.

Примеры

• Множество раздела точки p {displaystyle p} стандартной сферы состоит из точки, противоположной p {displaystyle p} .
• Множество раздела точки на поверхности бесконечного кругового цилиндра — прямая, параллельная оси цилиндра, проходящая по поверхности цилиндра со стороны, противоположной выбранной точке.

Свойства

• Множество раздела — замкнутое множество.
• Множество раздела имеет нулевой объём.
• Подмножество M ∖ C p {displaystyle Mackslash operatorname {C} _{p}} диффеоморфно шару.
• Если между точками p {displaystyle p} и q {displaystyle q} существуют две различные кратчайшие, то p ∈ C q {displaystyle pin operatorname {C} _{q}} и q ∈ C p {displaystyle qin operatorname {C} _{p}} .
• Если p ∈ C q {displaystyle pin operatorname {C} _{q}} и кратчайшая γ {displaystyle gamma } между точками p {displaystyle p} и q {displaystyle q} единственна, то они являются сопряжёнными на продолжении γ {displaystyle gamma } .
• Если M {displaystyle M} — аналитическое риманово многообразие, то множество раздела C p {displaystyle operatorname {C} _{p}} допускает локально конечную триангуляцию на открытые аналитические симплексы.
  • Без аналитичности M {displaystyle M} множество C p {displaystyle operatorname {C} _{p}} может быть даже нетриангулируемым.
• Расстояние от точки до её множества раздела равно радиусу инъективности этой точки.