Критерий Эйзенштейна


Критерий Эйзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Формулировка

Пусть a ( x ) = a 0 + a 1 x + . . . + a n x n {displaystyle a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}} — многочлен над факториальным кольцом R ( n > 0 {displaystyle n>0} ), и для некоторого простого p {displaystyle p} выполняются следующие условия:

  • p ∤ a n {displaystyle p mid a_{n}} (то есть a n {displaystyle a_{n}} не делится на p {displaystyle p} ),
  • p ∣ a i {displaystyle pmid a_{i}} для любого i от 0 до n-1,
  • p 2 ∤ a 0 {displaystyle p^{2} mid a_{0}} .

Тогда многочлен a ( x ) {displaystyle a(x)} неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел Z {displaystyle mathbb {Z} } , а F — поле рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } .

Доказательство

Предположим обратное: a ( x ) = f ( x ) g ( x ) {displaystyle a(x)=f(x)g(x)} , где f ( x ) = b 0 + b 1 x + . . . + b k x k {displaystyle f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}} и g ( x ) = c 0 + c 1 x + . . . + c m x m {displaystyle g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}} многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

a 0 = b 0 c 0 {displaystyle a_{0}=b_{0}c_{0}}

По условию p ∣ a 0 {displaystyle pmid a_{0}} и R факториально, поэтому либо p ∣ b 0 {displaystyle pmid b_{0}} либо p ∣ c 0 {displaystyle pmid c_{0}} , но не то и другое вместе ввиду того, что p 2 ∤ a 0 {displaystyle p^{2} mid a_{0}} . Пусть p ∣ b 0 {displaystyle pmid b_{0}} и p ∤ c 0 {displaystyle p mid c_{0}} . Все коэффициенты f ( x ) {displaystyle f(x)} не могут делиться на p {displaystyle p} , так как иначе бы это было бы верно для a ( x ) {displaystyle a(x)} . Пусть i {displaystyle i} — минимальный индекс, для которого b i {displaystyle b_{i}} не делится на p {displaystyle p} . Отсюда следует:

a i = b i c 0 + b i − 1 c 1 + . . . {displaystyle a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{i-1}c_{1}+...}

Так как p ∣ a i {displaystyle pmid a_{i}} и p ∣ b j {displaystyle pmid b_{j}} для всех j < i {displaystyle j<i} то p ∣ b i c 0 {displaystyle pmid b_{i}c_{0}} , но это невозможно, так как по условию p ∤ c 0 {displaystyle p mid c_{0}} и p ∤ b i {displaystyle p mid b_{i}} . Теорема доказана.

Примеры

  • Многочлен x 3 + 2 {displaystyle x^{3}+2} неприводим над Q . {displaystyle mathbb {Q} .}
  • Многочлен деления круга f ( x ) = x p − 1 + x p − 2 + . . . + 1 {displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1} неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) p − 1 ( x + 1 ) − 1 = x p − 1 + C p 1 x p − 2 + . . . C p p − 1 {displaystyle f(x+1)={frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{p-1}+C_{p}^{1}x^{p-2}+...C_{p}^{p-1}} , а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на p {displaystyle p} , так как p | C p k = p ( p − 1 ) . . . ( p − k + 1 ) k ! {displaystyle p|C_{p}^{k}={frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!}}} , а последний коэффициент C p p − 1 = p {displaystyle C_{p}^{p-1}=p} к тому же не делится на p 2 , {displaystyle p^{2},} то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
  • Многочлен x 3 + 4 {displaystyle x^{3}+4} над Q {displaystyle mathbb {Q} } является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это p = 2 {displaystyle p=2} , но 4 делится на 2 2 {displaystyle 2^{2}} — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: