Модули римановой поверхности
Модули римановой поверхности — численные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности.
Мотивация
Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно теореме Римана все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же каноническую область, в качестве которой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности n {displaystyle n} , n > 2 {displaystyle n>2} , точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на которую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонической n {displaystyle n} -связной области, которое указывает общую геометрическую структуру этой области, но не фиксирует её модулей.
Примеры
- конформные классы компактных римановых поверхностей рода g > 1 {displaystyle g>1} характеризуются 6 g − 6 {displaystyle 6g-6} действительными модулями;
- тор ( g = 1 {displaystyle g=1} ) характеризуется двумя модулями;
- n {displaystyle n} -связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при n > 3 {displaystyle n>3} характеризуется 3 n − 6 {displaystyle 3n-6} модулями.
- Каждая двусвязная область D {displaystyle D} плоскости z {displaystyle z} с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на некоторое круговое кольцо