Тор (поверхность)

30.01.2023

Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её.

Обобщенно, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности.

Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым.

Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли.

История

Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

Ось тора

Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.

  • Изменение расстояния до оси вращения

Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью.

Топологические свойства

Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством.

Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре χ=0.

Уравнения

Параметрическое

Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:

{ x ( φ , ψ ) = ( R + r cos ⁡ ψ ) cos ⁡ φ y ( φ , ψ ) = ( R + r cos ⁡ ψ ) sin ⁡ φ z ( φ , ψ ) = r sin ⁡ ψ φ ∈ [ 0 , 2 π ) , ψ ∈ [ − π , π ) {displaystyle left{{egin{matrix}x(varphi ,psi )=&(R+rcos psi )cos varphi y(varphi ,psi )=&(R+rcos psi )sin varphi z(varphi ,psi )=&rsin psi end{matrix}} ight.qquad varphi in [0,2pi ),psi in [-pi ,pi )}

Алгебраическое

Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:

( x 2 + y 2 + z 2 + R 2 − r 2 ) 2 − 4 R 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 {displaystyle left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2} ight)^{2}-4R^{2}left(x^{2}+y^{2} ight)=0}

Такая поверхность имеет четвёртый порядок.

Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.

y 2 = x 3 + x + 1 {displaystyle y^{2}=x^{3}+x+1} , где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность. { x 2 + y 2 = 1 z 2 + t 2 = 1 {displaystyle left{{egin{matrix}x^{2}+y^{2}=1z^{2}+t^{2}=1end{matrix}} ight.} Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0.

Кривизна поверхности

Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю.


Групповая структура

Свойства

Этапы выворачивания тора
  • Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: S = 4 π 2 R r {displaystyle S=4pi ^{2}Rr} .
  • Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Паппа — Гюльдена: V = 2 π 2 R r 2 {displaystyle V=2pi ^{2}Rr^{2}} .
  • Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.
  • Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.
  • Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.

Сечения

Сечения
  • При сечении тора бикасательной плоскостью получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
    • В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
  • Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
  • Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Обобщения

Многомерный тор

Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):

T n = S 1 × ⋯ × S 1 ⏟ n . {displaystyle mathbf {T} ^{n}=underbrace {S^{1} imes cdots imes S^{1}} _{n}.}

Поверхность вращения

Тор — частный случай поверхности вращения.



Имя:*
E-Mail:
Комментарий: