Инъективный объект

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Определение

Объект Q {displaystyle Q} категории C {displaystyle C} называется инъективным, если для любого морфизма f : A → Q {displaystyle f:A o Q} и любого мономорфизма h : A → B {displaystyle h:A o B} существует морфизм g : B → Q {displaystyle g:B o Q} продолжающий f {displaystyle f} , то есть g ∘ h = f {displaystyle gcirc h=f} .

Абелев случай

Исходное определение инъективного объекта было дано для абелева случая (и он остаётся наиболее важным). Если C {displaystyle C} — абелева категория, то её объект Q {displaystyle Q} называется инъективным тогда и только тогда, когда функтор Hom H o m C ( − , Q ) {displaystyle mathrm {Hom} _{C}(-,Q)} точен.

Достаточно много инъективных объектов

Говорят, что в категории C {displaystyle C} достаточно много инъективных объектов, если для любого объекта X {displaystyle X} категории C {displaystyle C} существует мономорфизм f : X → Q {displaystyle f:X o Q} в инъективный объект Q {displaystyle Q} .

Инъективная оболочка

Мономорфизм g {displaystyle g} категории C {displaystyle C} называется существенным, если для любого морфизма f {displaystyle f} композиция f ∘ g {displaystyle fcirc g} является мономорфизмом, только если f {displaystyle f} является мономорфизмом.

Если f : X → G {displaystyle f:X o G} — существенный мономорфизм и объект G {displaystyle G} инъективен, то G {displaystyle G} называется инъективной оболочкой X {displaystyle X} . Инъективная оболочка единственна с точностью до неканонического изоморфизма.

Обобщение

Пусть C {displaystyle {mathfrak {C}}} является категорией H {displaystyle {mathcal {H}}} — Класс морфизмов у C {displaystyle {mathfrak {C}}} .

Объект Q {displaystyle Q} категории C {displaystyle {mathfrak {C}}} называется H {displaystyle {mathcal {H}}} -иньективним если для любого морфизма f :→ Q {displaystyle f: o Q} и каждого морфизма h :→ B {displaystyle h: o B} из класса H {displaystyle {mathcal {H}}} существует морфизм g : B → Q {displaystyle g:B o Q} для которого g ∘ h = f {displaystyle gcirc h=f} .

Если H {displaystyle {mathcal {H}}} является классом мономорфизм то получается определение иньективних модулей.

Категория C {displaystyle {mathfrak {C}}} имеет довольно много H {displaystyle {mathcal {H}}} -иньективних объектов если для каждого объекта X категории C {displaystyle {mathfrak {C}}} , существует H {displaystyle {mathcal {H}}} -морфизм с X в H {displaystyle {mathcal {H}}} -иньективний объект.

Примеры

• В категории абелевых групп инъективные объекты — это делимые группы.

• В категории модулей R − M o d {displaystyle R-mathrm {Mod} } инъективные объекты — это инъективные модули. В R − M o d {displaystyle R-mathrm {Mod} } существуют инъективные оболочки, и, как следствие, достаточно много инъективных объектов.

• В категории метрических пространств и коротких отображений инъективные объекты по отношению к экстремальным мономорфизмам — это инъективные метрические пространства.

• Рассматривают также инъективные объекты в более общих категориях, например в категориях функторов или в категориях пучков модулей.

H {displaystyle {mathcal {H}}} -морфизм g в C {displaystyle {mathfrak {C}}} называется H {displaystyle {mathcal {H}}} -существенным если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит классу H {displaystyle {mathcal {H}}} только если f принадлежит классу H {displaystyle {mathcal {H}}} .

Если g есть H {displaystyle {mathcal {H}}} -существенным морфизм с X в H {displaystyle {mathcal {H}}} -иньективний объект G, то G называется H-иньективною оболочкой объекта X.