Атлас (топология)

22.02.2023

Атлас — понятие дифференциальной геометрии, позволяющее вводить на многообразии дополнительные структуры; например, гладкую структуру или комплексную структуру.

Атлас состоит из отдельных карт, которые описывают отдельные области многообразия. Если под многообразием понимать поверхность Земли, то слова «карта» и «атлас» приобретают свои обычные значения.

Определения

Пусть K {displaystyle K} — числовое поле (например R {displaystyle mathbb {R} } или C {displaystyle mathbb {C} } ), X {displaystyle X} — топологическое пространство.

• Карта — это пара ( U , f ) {displaystyle (U,f)} , где

U {displaystyle U} — открытое множество в X {displaystyle X} f {displaystyle f} — гомеоморфизм из U {displaystyle U} в открытое множество в K n {displaystyle K^{n}}

• Локальная карта вводит в U {displaystyle U} криволинейные координаты, сопоставляя точке x = f − 1 ( t ) {displaystyle x=f^{-1}(t)} набор чисел t = ( t 1 , . . . , t n ) {displaystyle t=(t^{1},...,t^{n})}

• Если области определения двух карт ( U 1 , f 1 ) {displaystyle (U_{1},f_{1})} и ( U 2 , f 2 ) {displaystyle (U_{2},f_{2})} пересекаются ( U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ {displaystyle U_{1}cap U_{2} eq emptyset } ), то между множествами f 1 ( U 2 ) {displaystyle f_{1}(U_{2})} и f 2 ( U 1 ) {displaystyle f_{2}(U_{1})} имеются взаимно обратные отображения (гомеоморфизмы), называемые функциями сличения или отображением склейки : f 12 = f 1 ∘ f 2 − 1 | f 2 ( U 1 ∩ U 2 ) :   f 2 ( U 1 ∩ U 2 ) → f 1 ( U 1 ∩ U 2 ) f 21 = f 2 ∘ f 1 − 1 | f 1 ( U 1 ∩ U 2 ) :   f 1 ( U 1 ∩ U 2 ) → f 2 ( U 1 ∩ U 2 ) {displaystyle {egin{matrix}f_{12}=f_{1}circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{2}(U_{1}cap U_{2}) o f_{1}(U_{1}cap U_{2})f_{21}=f_{2}circ f_{1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}cap U_{2})}&: f_{1}(U_{1}cap U_{2}) o f_{2}(U_{1}cap U_{2})end{matrix}}}

• Атлас — это множество согласованных карт { ( U α , f α ) } {displaystyle {(U_{alpha },f_{alpha })}} , α ∈ A {displaystyle alpha in {mathcal {A}}} , такое, что { U α } {displaystyle {U_{alpha }}} образует покрытие пространства X {displaystyle X} . Здесь A {displaystyle {mathcal {A}}} — некоторое множество индексов. При этом атлас называется гладким (класса C k {displaystyle C^{k}} ) или аналитическим, если функции замены координат f α 1 α 2 {displaystyle f_{alpha _{1}alpha _{2}}} для всех карт гладкие (класса C k {displaystyle C^{k}} ) или аналитические.

Связанные определения

• Два гладких (аналитических) атласа называются согласованными, если их объединение также является гладким (аналитическим) атласом.