Числа эпсилон

Числа эпсилон — ординалы, введенные немецким математиком Гергом Кантором и являющиеся неподвижными точками функции f ( α ) = ω α , {displaystyle f(alpha )=omega ^{alpha },} то есть удовлетворяющие равенству ε = ω ε , {displaystyle varepsilon =omega ^{varepsilon },} где ω {displaystyle omega } — первый трансфинитный ординал. Числа эпсилон могут быть определены следующим образом (как супремумы трансфинитных последовательностей):

• ε 0 = sup { 0 , 1 , ω , ω ω , ω ω ω , ω ω ω ω , . . . } ; {displaystyle varepsilon _{0}=sup{0,1,omega ,omega ^{omega },omega ^{omega ^{omega }},omega ^{omega ^{omega ^{omega }}},...};}
• ε α + 1 = sup { ε α + 1 , ω ε α + 1 , ω ω ε α + 1 , ω ω ω ε α + 1 , . . . } ; {displaystyle varepsilon _{alpha +1}=sup{varepsilon _{alpha }+1,omega ^{varepsilon _{alpha }+1},omega ^{omega ^{varepsilon _{alpha }+1}},omega ^{omega ^{omega ^{varepsilon _{alpha }+1}}},...};}
• ε α = sup { ε β | β < α } {displaystyle varepsilon _{alpha }=sup{varepsilon _{eta }|eta <alpha }} для предельного ординала α . {displaystyle alpha .}

Наименьший ординал, который является неподвижной точкой функции f ( α ) = ε α , {displaystyle f(alpha )=varepsilon _{alpha },} называется ординалом Кантора и обозначается как ζ 0 . {displaystyle zeta _{0}.}

ζ 0 = sup { 0 , ε 0 , ε ε 0 , ε ε ε 0 , ε ε ε ε 0 , . . . } . {displaystyle zeta _{0}=sup{0,varepsilon _{0},varepsilon _{varepsilon _{0}},varepsilon _{varepsilon _{varepsilon _{0}}},varepsilon _{varepsilon _{varepsilon _{varepsilon _{0}}}},...}.}

Впоследствии, в 1908 году, Освальд Веблен разработал более мощную ординальную нотацию — иерархию функций φ α {displaystyle varphi _{alpha }} . В соответствии с нотацией Веблена ε α = φ 1 ( α ) {displaystyle varepsilon _{alpha }=varphi _{1}(alpha )} .