Нормальные координаты

22.04.2023

Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.

В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.

Построение

Пусть M {displaystyle M} есть гладкое многообразие с аффинной связностью и exp p : T p → M {displaystyle exp _{p}colon T_{p} o M} есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки x = exp p ⁡ v {displaystyle x=exp _{p}v} считаются равными координатам вектора v {displaystyle v} в касательном пространстве T p {displaystyle T_{p}} .

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

Замечания

  • Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки p {displaystyle p} .

Свойства

  • Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.
  • Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.
  • Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:
g i j ( x ) = δ i j − 1 3 ⋅ R i k l j ⋅ x k ⋅ x l + o ( | x | 2 ) . {displaystyle g_{ij}(x)=delta _{ij}-{ frac {1}{3}}cdot R_{iklj}cdot x^{k}cdot x^{l}+o(|x|^{2}).}

Вариации и обобщения

  • Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле, нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: