Нормальные координаты
Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.
В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.
Построение
Пусть M {displaystyle M} есть гладкое многообразие с аффинной связностью и exp p : T p → M {displaystyle exp _{p}colon T_{p} o M} есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки x = exp p v {displaystyle x=exp _{p}v} считаются равными координатам вектора v {displaystyle v} в касательном пространстве T p {displaystyle T_{p}} .
Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.
Замечания
- Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки p {displaystyle p} .
Свойства
- Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.
- Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.
- Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:
Вариации и обобщения
- Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле, нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.