Циклотронная масса
Циклотронная масса — величина, играющая роль массы электрона или дырки в выражении для циклотронной частоты их периодического движения в постоянном и однородном магнитном поле.
Эффективная и циклотронная массы
В проводниках с анизотропной поверхностью Ферми инерционные характеристики носителей описываются с помощью тензора эффективных масс m i k {displaystyle m_{ik}} ( i , k = x , y , z {displaystyle i,k=x,y,z} ). Тензор эффективных масс является симметричным тензором второго ранга, компоненты которого могут быть как положительными, так и отрицательными. В общем случае циклотронная масса не совпадает ни с одной из компонент тензора эффективных масс. Циклотронная масса m c {displaystyle m_{c}} появляется в теории, как величина входящая в выражение для циклотронной частоты ω c = | e | B / m c {displaystyle {{omega }_{c}}=left|e ight|B/{{m}_{c}}} движения заряжённой частицы по периодической траектории в однородном магнитном поле B {displaystyle B} ( e {displaystyle e} - заряд частицы). В простейшем случае сферической Ферми поверхности тензор m i k {displaystyle m_{ik}} диагонален, а все три диагональные компоненты равны m k k = m ∗ {displaystyle m_{kk}=m^{*}} и совпадают с циклотронной массой m ∗ = m c {displaystyle m^{*}=m_{c}} . Циклотронную массу измеряют с помощью изучения циклотронного резонанса, циклотронного резонанса Азбеля-Канера, магнитных осцилляционных эффектов (эффект Шубникова — де Гааза, эффект де Гааза — ван Альфена) и других кинетических эффектов и термодинамических характеристик. Знание циклотронной массы позволяет получить важную информацию о форме поверхности Ферми в твёрдом теле.
Теория для кремния
Поверхность Ферми кремния, который является непрямозонным полупроводником, состоит из шести эллипсоидов вращения в k {displaystyle k} -пространстве. Рассмотрим сечение поверхности Ферми плоскостью x z {displaystyle xz} такое, что в этой плоскости будут находиться 4 вытянутых эллипса с центрами расположенными на осях на расстоянии k 0 {displaystyle k_{0}} . Пусть вектор магнитного поля B {displaystyle mathbf {B} } лежит в этой плоскости и образует угол θ {displaystyle heta } с осью z {displaystyle z} . Анизотропный закон дисперсии для электронов имеет вид
ε = ℏ 2 2 ( k x 2 + k y 2 m t + ( k z − k 0 ) 2 m l ) , {displaystyle varepsilon ={frac {hbar ^{2}}{2}}left({frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{m_{t}}}+{frac {(k_{z}-k_{0})^{2}}{m_{l}}} ight),}где введены две разные эффективные массы m t {displaystyle m_{t}} , m l {displaystyle m_{l}} (диагональные компоненты тензора эффективных масс), называемые соответственно продольной и поперечной эффективными массами. Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона) с зарядом «-e» в магнитном поле B {displaystyle mathbf {B} } в отсутствие затухания
ℏ d k d t = − e v × B , {displaystyle hbar {frac {dmathbf {k} }{dt}}=-emathbf {v} imes mathbf {B} ,}где k {displaystyle mathbf {k} } — волновой вектор, а скорость частицы v {displaystyle mathbf {v} } определяется выражением
v = 1 ℏ ∇ k ε = ( ℏ k x m t , ℏ k y m t , ℏ ( k z − k 0 ) m l ) . {displaystyle mathbf {v} ={frac {1}{hbar }} abla _{k}varepsilon =left({frac {hbar k_{x}}{m_{t}}},,{frac {hbar k_{y}}{m_{t}}},,{frac {hbar (k_{z}-k_{0})}{m_{l}}} ight).}Теперь распишем покомпонентно закон движения
ℏ d k x d t = − e ℏ B k y m t cos θ , {displaystyle hbar {frac {dk_{x}}{dt}}=-{frac {ehbar Bk_{y}}{m_{t}}}cos { heta },} ℏ d k y d t = e ℏ B k x m t cos θ − e ℏ B ( k z − k 0 ) m l sin θ , {displaystyle hbar {frac {dk_{y}}{dt}}={frac {ehbar Bk_{x}}{m_{t}}}cos { heta }-{frac {ehbar B(k_{z}-k_{0})}{m_{l}}}sin { heta },} ℏ d k z d t = e ℏ B k y m t sin θ . {displaystyle hbar {frac {dk_{z}}{dt}}={frac {ehbar Bk_{y}}{m_{t}}}sin { heta }.}Нас будет интересовать только решения вида
k x = k 1 e i ω t , k y = k 2 e i ω t , k z = k 0 + k 3 e i ω t . {displaystyle k_{x}=k_{1}e^{iomega t},,k_{y}=k_{2}e^{iomega t},,k_{z}=k_{0}+k_{3}e^{iomega t}.}Это решение существует при определённой частоте называемой циклотронной, которая зависит от угла:
ω c = e B ( sin 2 θ m l m t + cos 2 θ m t 2 ) 1 / 2 . {displaystyle omega _{c}=eBleft({frac {sin ^{2}{ heta }}{m_{l}m_{t}}}+{frac {cos ^{2}{ heta }}{m_{t}^{2}}} ight)^{1/2}.}Здесь можно определить циклотронную массу как
m c = ( sin 2 θ m l m t + cos 2 θ m t 2 ) − 1 / 2 . {displaystyle m_{c}=left({frac {sin ^{2}{ heta }}{m_{l}m_{t}}}+{frac {cos ^{2}{ heta }}{m_{t}^{2}}} ight)^{-1/2}.}Видно, что если угол равен нулю, то m c = m t {displaystyle m_{c}=m_{t}} , а если угол прямой: m c = m l m t {displaystyle m_{c}={sqrt {m_{l}m_{t}}}} .
Общий случай
В общем случае для произвольной поверхности Ферми, например в металлах поверхность Ферми может принимать сложную форму нужно использовать следующую формулу для циклотронной частоты
ω c = 2 π e B ℏ 2 1 ( ∂ S / ∂ ε F ) {displaystyle omega _{c}={frac {2pi eB}{hbar ^{2}}}{frac {1}{(partial S/partial varepsilon _{F})}}}и циклотронной массы
m c = ℏ 2 2 π ∂ S ∂ ε , ( 1 ) {displaystyle m_{c}={frac {hbar ^{2}}{2pi }}{frac {partial S}{partial varepsilon }},qquad (1)}где S ( ε , k H ) {displaystyle S(varepsilon ,k_{H})} — площадь сечения поверхности Ферми плоскостью k H = c o n s t {displaystyle {k_{H}}=const} , k H {displaystyle k_{H}} — проекция волнового вектора электрона на направление магнитного поля, ε {displaystyle varepsilon } — энергия электрона.
Случай параболической зоны
Для простейшей изотропной параболической зоны энергию и площадь можно представить в виде следующих функций от волнового вектора:
ε k = ℏ 2 k 2 2 m ∗ {displaystyle varepsilon _{k}={frac {hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}} } , S ( ε F , k H ) = π k ⊥ 2 = π ( 2 m ∗ ε F ℏ 2 − k H 2 ) , {displaystyle {S}left(varepsilon _{F},{{k}_{H}} ight)=pi k_{ot }^{2}=pi left({frac {2{{m}^{*}}varepsilon _{F}}{{hbar }^{2}}}-k_{H}^{2} ight),,}где k ⊥ {displaystyle k_{ot }} — величина компоненты волнового вектора, перпендикулярной магнитному полю, ε F {displaystyle varepsilon _{F}} — энергия Ферми. В этом случае производная от энергии по площади будет иметь простейший вид:
∂ S ∂ ε F = 2 π m ∗ ℏ 2 . {displaystyle {frac {partial {S}}{partial varepsilon _{F}}}={frac {2pi {{m}^{*}}}{{hbar }^{2}}},.}Подставляя полученное значение для производной в формулу для эффективной массы, находим:
m c = ℏ 2 2 π ⋅ ∂ S ∂ ε F = m ∗ . {displaystyle m_{c}={frac {hbar ^{2}}{2pi }}cdot {frac {partial S}{partial varepsilon _{F}}}=m^{*},.}Таким образом, в случае простой изотропной параболической зоны имеется тождественность «циклотронной массы» и «эффективной массы». Данное обстоятельство позволяет в большинстве практических случаев измерять эффективную массу носителей в твёрдом теле.
Циклотронная масса для графена
Двухмерный закон дисперсии графена вблизи точек Дирака задается уравнением
ε = ± ℏ v F k , {displaystyle varepsilon =pm hbar v_{F}k,,}где ε {displaystyle varepsilon } — энергия возбуждения, v F {displaystyle v_{F}} — скорость Ферми, k {displaystyle k} — абсолютная величина двухмерного волнового вектора.
Рассмотрим легированный графен с плотностью носителей на единицу площади, n s {displaystyle n_{s}} , при достаточно низкой температуре, такой что электроны образуют вырожденный Ферми-газ. Тогда можно определить поверхность Ферми как 2D линию — круг ε = ε F {displaystyle varepsilon =varepsilon _{F}} . После учёта спинового и долинного вырождения соответствующий волновой вектор Ферми k F {displaystyle k_{F}} равен
k F = π n s . {displaystyle {{k}_{F}}={sqrt {pi n_{s}}},.}Для того чтобы определить циклотронную массу в квазиклассическом приближении, используем уравнение (1), в которое следует подставить, S ( ε ) {displaystyle S(varepsilon )} , площадь в k-пространстве, ограниченную орбитой с энергией ε {displaystyle varepsilon }
S ( ε ) = π k 2 ( ε ) = π ε 2 ℏ 2 v F 2 , {displaystyle Sleft(varepsilon ight)=pi {{k}^{2}}left(varepsilon ight)={frac {pi {{varepsilon }^{2}}}{{{hbar }^{2}}v_{F}^{2}}},,}откуда находим, циклотронную массу:
m c = ℏ k F v F = ℏ v F π n s . {displaystyle m_{c}={frac {hbar {{k}_{F}}}{{v}_{F}}}={frac {hbar }{v_{F}}}{sqrt {pi n_{s}}},.}