Внутренняя метрика
Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.
Определения
Пусть задано топологическое пространство X {displaystyle X} и выбран класс некоторых допустимых путей Γ {displaystyle Gamma } (путём в X {displaystyle X} называется гомеоморфный образ отрезка), содержащийся во множестве всех непрерывных путей в X {displaystyle X} .
- На пространстве X {displaystyle X} задан функционал длины, если на множестве Γ {displaystyle Gamma } задана функция L : Γ → R + ∪ ∞ {displaystyle Lcolon Gamma o mathbb {R} _{+}cup infty } , ставящая в соответствие каждому γ ∈ Γ {displaystyle gamma in Gamma } значение L ( γ ) {displaystyle L(gamma )} (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути γ {displaystyle gamma } .
- Метрика ρ {displaystyle ho } на пространстве X {displaystyle X} называется внутренней, если для любых двух точек x , y ∈ X {displaystyle x,yin X} расстояние между ними определяется формулой ρ ( x , y ) = inf { L ( γ ) } , {displaystyle ho (x,y)=inf{L(gamma )},} где инфинум берётся по всем допустимым путям, соединяющим точки x , y ∈ X {displaystyle x,yin X} .
Связанные определения
- Пусть x , y ∈ X {displaystyle x,yin X} — две произвольные точки метрического пространства ρ , X {displaystyle ho ,X} и ε {displaystyle varepsilon } — произвольное положительное число. Точка z ϵ ∈ X {displaystyle z_{epsilon }in X} называется их ε {displaystyle varepsilon } -серединой, если ρ ( x , z ε ) , ρ ( y , z ε ) < 1 2 ρ ( x , y ) + ε . {displaystyle ho (x,z_{varepsilon }), ho (y,z_{varepsilon })<{ frac {1}{2}} ho (x,y)+varepsilon .}
- Метрическое пространство ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} называется геодезическим, если любые две точки X {displaystyle X} можно соединить кратчайшей.
Свойства
- Если ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек x , y ∈ X {displaystyle x,yin X} и любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует их ε {displaystyle varepsilon } -середина. В случае, когда метрическое пространство ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек x , y ∈ X {displaystyle x,yin X} и любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует их ε {displaystyle varepsilon } -середина, то эта метрика внутренняя.
- Полное метрическое пространство ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек x , y ∈ X {displaystyle x,yin X} и ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} найдётся кривая длины < ρ ( x , y ) + ε , {displaystyle < ho (x,y)+varepsilon ,} соединяющая точки x {displaystyle x} и y {displaystyle y} . Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
- Теорема Хопфа — Ринова: Если ( X , ρ ) {displaystyle (X, ho )} — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки X {displaystyle X} можно соединить кратчайшей. Более того, пространство X {displaystyle X} является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества X {displaystyle X} являются компактными).