Линейное уравнение
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:
- в общей форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + b = 0 {displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}+b=0} ;
- в канонической форме: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = − b {displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+dots +a_{n}x_{n}=-b} ,
где x 1 , … , x n {displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}} — это переменные (или неизвестные) величины (также известные как корни линейного уравнения), а b , a 1 , … , a n {displaystyle b,a_{1},ldots ,a_{n}} — постоянные или коэффициенты, которые являются действительными числами. Коэффициенты могут квалифицироваться как параметры при уравнении и могут быть любыми выражениями при условии, что сами по себе не содержат переменных. Чтобы уравнение имело смысл, коэффициенты a 1 , … , a n {displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}} не должны равняться нулю. Также линейное уравнение можно получить, если приравнять линейный многочлен к нулю над некоторым полем, откуда для многочлена берутся коэффициенты.
Решение уравнения — это нахождение таких значений переменных, которые при подстановке дали бы верное равенство. Если переменная всего одна, то для линейного уравнения существует только одно решение (при условии, что a 1 ≠ 0 {displaystyle a_{1} eq 0} ). Часто «линейным уравнением» называют именно подобные уравнения с одной «неизвестной». Если переменных две, то любое решение может быть проиллюстрировано и проверено с помощью прямоугольной системы координат в двумерном (евклидовом) пространстве. Решение одного линейного уравнения изображается как вертикальная прямая в прямоугольной системе координат для данного уравнения, но эта же прямая может быть иллюстрацией решения и другого уравнения. Каждая линия может рассматриваться как множество всех решений линейного уравнения с двумя переменными, поэтому подобные уравнения и называются линейными. В общем, множество решений линейного уравнения с n переменными образуют гиперплоскость (подпространство размерности n-1) в евклидовом пространстве с размерностью n.
Линейные уравнения применяются абсолютно во всех сферах математики и их приложениях в физике и инженерном деле отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо можно «приблизить» и упростить линейными уравнениями. Совокупность в виде двух и более линейных уравнений, для которой надо найти конкретное решение, является системой линейных алгебраических уравнений.
Уравнение с одной переменной
Математическое описание
Уравнение имеет вид: a x + b = 0 , {displaystyle ax+b=0,} его решение сводится к виду: x = − b a {displaystyle x=-{frac {b}{a}}} в общем случае, когда a ≠ 0. «Неизвестной» называется в данном случае переменная x. Если a = 0, то возможны два варианта. В случае, если b тоже равняется нулю, решений бесконечно много, поскольку любое число является решением. Но если b ≠ 0, то у уравнения не может быть корней, поскольку ∄ x ∈ R : 0 ⋅ x = − b ≠ 0 {displaystyle ot exists xin mathbb {R} :0cdot x=-b eq 0} . В последнем случае подобное уравнение является противоречивым (т.е. нельзя подобрать переменную, чтобы было верным равенство).
Примеры решения
Дано линейное уравнение в виде результата умножения двух чисел; известен один из множителей, второй неизвестен, но известен результат.
3 ⋅ x = 24 {displaystyle 3cdot x=24}В данном случае для того, чтобы найти неизвестный множитель x {displaystyle x} , результат умножения 24 нужно разделить на известный множитель 3. Результатом операции деления будет 8 как корень данного уравнения.
x = 24 3 = 8 {displaystyle x={frac {24}{3}}=8} .Линейное уравнение такого типа, как
0 ⋅ x = 7 , {displaystyle 0cdot x=7,}не имеет решения, так как результат умножения любого числа на 0 всегда даёт 0. Вместе с тем уравнение вида
0 ⋅ x = 0 {displaystyle 0cdot x=0}имеет бесконечно много решений. Следовательно, для него x {displaystyle x} может быть любым числом.
Уравнение с двумя переменными
Описание в общей и канонической формах
В случае, если в уравнении есть две переменные, линейное уравнение можно представить в общей форме: a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} , где переменными являются величины x и y, а коэффициентами — a, b и c. В канонической формах это уравнение имеет вид A x + B y = C , {displaystyle Ax+By=C,} при A = a, B = b и C = –c.
Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных ( x ; y ) {displaystyle (x;y)} , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество.
Существуют и другие формы линейного уравнения, к которым его можно привести с помощью простых алгебраических преобразований (прибавления одной и той же величины к уравнению, умножения или деления на одно и то же число, не равное нулю и т.д.)
Пример
Дано линейное уравнение:
3 ⋅ x + 4 ⋅ y = 12 {displaystyle 3cdot x+4cdot y=12}Для определения множества всех решений можно преобразовать уравнение в функцию с зависимостью y {displaystyle y} от t {displaystyle t} . В таком случае получится
x = t {displaystyle x=t} и y = ( 12 − 3 ⋅ t ) / 4 {displaystyle y=(12-3cdot t)/4} при t ∈ R {displaystyle tin mathbb {R} }Так выводится график данной функции, включающий все пары x и y, обращающим уравнение в верное равенство:
f ( x ) = ( 12 − 3 ⋅ x ) / 4 = − ( 3 / 4 ) ⋅ x + 3 {displaystyle f(x)=(12-3cdot x)/4=-(3/4)cdot x+3} .Линейная функция
В случае, если b ≠ 0, то уравнение a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} можно привести к такому виду, чтобы значение y зависело от x. Уравнение может быть представлено в таком случае в форме линейной функции y = k x + m {displaystyle y=kx+m} , где k = − a b ; m = − c b {displaystyle k=-{frac {a}{b}}; m=-{frac {c}{b}}} (или сразу y = − a b x − c b . {displaystyle y=-{frac {a}{b}}x-{frac {c}{b}}.} ). График функции в данном случае (т.е. геометрическая модель или иллюстрация для данного уравнения) представляет собой прямую типа y = k x + m {displaystyle y=kx+m} , где k — угловой коэффициент (он же − a b {displaystyle -{frac {a}{b}}} ), а m = − c b {displaystyle -{frac {c}{b}}} — координата точки пересечения графика с осью y.
В математическом анализе линейными называются те функции, график которых является именно прямой. В линейной алгебре линейной называется функция, отображающая сумму на сумме изображений слагаемых. Таким образом, в линейной алгебре функция является линейной, если c = 0, а её график проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, графики которых являются произвольными линиями, называются аффинными.
Геометрический смысл
Любая пара (x, y), являющаяся решением уравнения a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} , может быть отражена в прямоугольной системе координат в виде точки в двумерном пространстве. В таком случае все решения уравнения формируют линию при условии, что a и b не равняются нулю. Верно и обратное, что каждая линия является множеством решений линейного уравнения. Само словосочетание «линейное уравнение» и имеет корни в соотношении между прямыми линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными представляет собой уравнение, все решения которого графически представляют собой линию.
В случае, если b ≠ 0, линия является графиком функции x, описанным выше. Если b = 0, то линия будет вертикальной, параллельной оси ординат (y-оси), для уравнения x = − c a , {displaystyle x=-{frac {c}{a}},} , которое не является графиком функции x. Соответственно, если a ≠ 0, то линия является графиком функции y, а если a = 0 — то горизонтальной линией, параллельной оси абсцисс, для уравнения y = − c b . {displaystyle y=-{frac {c}{b}}.}
Уравнение с тремя и более переменными
Линейное уравнение, в котором содержится больше двух переменных, может иметь форму типа a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + b = 0. {displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}+b=0.} . Коэффициент b, иногда обозначаемый как a0, является свободным членом. Коэффициентами могут в таком случае называть все переменные типа ai при условии i > 0. В уравнениях с тремя неизвестными последние обозначаются буквами x , y {displaystyle x,;y} и z {displaystyle z} .
Решение такого уравнения — такой n-кортеж, замена каждого элемента в котором соответствующей переменной преобразовала бы уравнение в верное равенство. Чтобы уравнение имело смысл, хотя бы один коэффициент при переменной должен быть ненулевым. Если же все коэффициенты при переменных равняются нулю, то либо уравнение будет противоречивым (при b ≠ 0) как не имеющее решений, либо же любой n-кортеж будет решением данного уравнения. Все n-кортежи, которые являются решением линейного уравнения с n переменными — это координаты точек в системе координат для (n − 1)-размерной гиперплоскости в n-размерном евклидовом пространстве (или аффинном пространстве, если коэффициенты — комплексные числа или принадлежат любому полю). В случае трёх переменных эта гиперплоскость становится плоскостью (согласно одной из аксиом Евклидовой геометрии).
Если в линейном уравнении aj ≠ 0, тогда существует решение данного уравнения для xj x j = − b a j − ∑ i ∈ { 1 , … , n } , i ≠ j a i a j x i . {displaystyle x_{j}=-{frac {b}{a_{j}}}-sum _{iin {1,ldots ,n},i eq j}{frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.} Если коэффициенты — вещественные числа, то таким образом определяется вещественнозначная функция для n вещественных переменных.
Пример
Дано линейное уравнение с тремя неизвестными:
3 ⋅ x 1 + 2 ⋅ x 2 + x 3 = 7 {displaystyle 3cdot x_{1}+2cdot x_{2}+x_{3}=7}Решением данного уравнения будет являться плоскость, которой принадлежат три точки типа:
x 1 = t 1 , x 2 = t 2 , x 3 = 7 − 3 ⋅ t 1 − 2 ⋅ t 2 {displaystyle x_{1}=t_{1},;x_{2}=t_{2},;x_{3}=7-3cdot t_{1}-2cdot t_{2}} при t 1 , t 2 ∈ R {displaystyle t_{1},t_{2}in mathbb {R} } .